SISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT-LINEAR

Soal Kehidupan Sehari-hari dalam SPLTV (sistem persamaan linear tiga variable)

Sumber: matematika.blogspot.com

1. Sebuah bilangan terdiri atas 3 angka. Jumlah ketiga angkanya sama dengan 16. Jumlah angka pertama dan angka kedua sama dengan angka ketiga dikurangi dua. Nilai bilangan itu sama dengan 21 kali jumlah ketiga angkanya kemudian ditambah dengan 13. Carilah bilangan itu.

Penyelesaian:

Misalkan bilangan itu xyz, x menempati tempat ratusan, y menempati tempat puluhan, dan z menempati tempat satuan. Jadi, nilai bilangan itu 100x + 10y + z. Berdasarkan data pada soal, diperoleh SPLTV sebagai berikut.

x + y + z = 16

x + y = z – 2

100x + 10y + z = 21(x + y + z) + 13

Atau bisa kita ubah menjadi bentuk berikut.

x + y + z = 16

x + y – z = –2

79x – 11y – 20z = 13

Sekarang kita eliminasi variabel y dengan cara berikut.

● Dari persamaan 1 dan 2

x + y + z = 16

x + y – z = −2 − 2z

= 18z

= 9

● Dari persamaan 1 dan 3

x + y + z =16

|× 11|

→

11x + 11y + 11z =176

79x – 11y – 20z =13

|× 1|

→

79x – 11y – 20z =13 + 90x – 9z = 189

Subtitusikan nilai z = 9 ke persamaan 90x – 9z = 189 sehingga diperoleh:

⇒ 90x – 9z = 189

⇒ 90x – 9(9) = 189

⇒ 90x – 81 = 189

⇒ 90x = 189 + 81

⇒ 90x = 270

⇒ x = 3

Subtitusikan nilai x = 3 dan z = 9 ke persamaan x + y + z = 16 sehingga diperoleh:

⇒ x + y + z = 16

⇒ 3 + y + 9 = 16

⇒ y + 12 = 16

⇒ y = 16 – 12

⇒ y = 4

Jadi, karena nilai x = 3, y = 4 dan z = 9 maka bilangan itu adalah 349.

2. Sebuah kios menjual bermacam-macam buah di antaranya jeruk, salak, dan apel. Seseorang yang membeli 1 kg jeruk, 3 kg salak, dan 2 kg apel harus membayar Rp33.000,00. Orang yang membeli 2 kg jeruk, 1 kg salak, dan 1 kg apel harus membayar Rp23.500,00. Orang yang membeli 1 kg jeruk, 2 kg salak, dan 3 kg apel harus membayar Rp36.500,00. Berapakah harga per kilogram salak, harga per kilogram jeruk, dan harga per kilogram apel?

Penyelesaian:

Misalkan harga per kilogram jeruk x, harga per kilogram salak y, dan harga per kilogram apel z. Berdasarkan persoalan di atas, diperoleh sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

x + 3y + 2z = 33.000

2x + y + z = 23.500

x + 2y + 3z = 36.500

Untuk menyelesaikan SPLTV tersebut, kita akan menggunakan metode campuran yaitu sebagai berikut.

● Eliminasi variabel x pada persamaan 1 dan 2

x + 3y + 2z = 33.000

|× 2|

→

2x + 6y + 4z = 66.000

2x + y + z = 23.500

|× 1|

→

2x + y + z = 23.500

−5y + 3z = 42.500

● Eliminasi variabel x pada persamaan 2 dan 3

x + 3y + 2z = 33.000

x + 2y + 3z = 36.500

−y – z = −3.500

y = z – 3.500

Subtitusikan y = z – 3.500 ke persamaam 5y + 3z = 42.500 sehingga diperoleh:

⇒ 5y + 3z = 42.500

⇒ 5(z – 3.500) + 3z = 42.500

⇒ 5z – 17.500 + 3z = 42.500

⇒ 8z – 17.500 = 42.500

⇒ 8z = 42.500 + 17.500

⇒ 8z = 42.500 + 17.500

⇒ 8z = 60.000

⇒ z = 7.500

Subtitusikan nilai z = 7.500 ke persamaan y = z – 3.500 sehingga diperoleh nilai y sebagai berikut.

⇒ y = z – 3.500

⇒ y = 7.500 – 3.500

⇒ y = 4.000

Terakhir subtitusikan nilai y = 4.000 dan nilai z = 7.500 ke persamaan x + 3y + 2z = 33.000 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

⇒ x + 3y + 2z = 33.000

⇒ x + 3(4.000) + 2(7.500) = 33.000

⇒ x + 12.000 + 15.000 = 33.000

⇒ x + 27.000 = 33.000

⇒ x = 33.000 – 27.000

⇒ x = 6.000

Dengan demikian, harga 1 kg jeruk adalah Rp6.000,00; harga 1 kg salak adalah Rp4.000,00; dan harga 1 kg apel adalah Rp7.500,00.

3. Diketahui tiga bilangan a, b, dan c. Rata-rata dari ketiga bilangan itu sama dengan 16. Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah bilangan lainnya. Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan yang lain dikurang empat. Carilah bilangan-bilangan itu.

Penyelesaian:

Ketiga bilangan adalah a, b, dan c. Ketentuan soal adalah sebagai berikut:

■ Rata-rata ketiga bilangan sama dengan 16 berarti:

(a + b + c)/3 = 16

Apabila kedua ruas kita kalikan 3 maka:

a + b + c = 48

■ Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah bilangan lain berarti:

b + 20 = a + c

atau bisa kita tuliskan sebagai berikut.

a – b + c = 20

■ Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan lain dikurang 4 berarti:

c = a + b – 4

atau bisa kita tuliskan sebagai berikut.

a + b – c = 4

Sampai sini kita peroleh SPLTV sebagai berikut.

a + b + c = 48

a – b + c = 20

a + b – c = 4

Untuk menyelesaikan SPLTV tersebut, kita akan menggunakan metode campuran yaitu sebagai berikut.

● Eliminasi variabel a pada persamaan 1 dan 2

a + b + c = 48

a – b + c = 20 − 2b

= 28b

= 14

● Eliminasi variabel a pada persamaan 1 dan 3

a + b + c =48

a + b – c= 4−2c = 44c 

= 22

Subtitusikan nilai b = 14 dan nilai c = 22 ke persamaan a + b – c = 4 sehingga diperoleh nilai a yaitu sebagai berikut.

⇒ a + b – c = 4

⇒ a + 14 – 22 = 4

⇒ a – 8 = 4

⇒ a = 4 + 8

⇒ a = 12

Jadi, ketiga bilangan tersebut berturut-turut adalah 12, 14, dan 22.