Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya. TERBARU DAN MUDAH DIPAHAMI!

by. Ahmad Fachriza XI IPS1

Daftar Isi

I. Baris dan Deret Aritmatika

II. Rumus Baris dan Deret Aritmatika

III. Rumus-rumus Deret Aritmatika 

IV. Contoh Soal Baris dan Deret Aritmatika 

V. Barisan dan Deret Geometri 

VI. Rumus Barisan dan Deret Geometri 

VII. Contoh Soal Barisan dan Deret Geometri 

VIII. Pengertian Bunga 

IX. Jenis-jenis Bunga 

X. Bungga Tunggal

XI. Bunga Majemuk 

XII. Anuitas

XIII. Pertumbuhan

XIV. Peluruhan

I. Baris dan Deret Aritmatika

Sebetulnya barisan dan deret terbagi menjadi beberapa macam. Tapi, kali ini gue hanya akan membahas mengenai baris dan deret aritmatika.

Di atas tadi sempat gue singgung sedikit mengenai apa itu barisan. Barisan adalah daftar bilangan yang dituliskan secara berurutan dari kiri ke kanan, di mana ia mempunyai pola atau karakteristik bilangan tertentu. Barisan biasanya disimbolkan dengan Un;

Sedangkan deret adalah penjumlahan dari suku-suku yang ada di dalam suatu barisan tertentu. Deret ini biasanya disimbolkan dengan Sn;

Kemudian aritmetika adalah ilmu berhitung dasar yang mencakup penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, yang ada di dalam cabang ilmu pengetahuan matematika. Psstt, inget lho, ejaan yang benar itu ‘aritmetika’, bukan ‘aritmatika’.

II. Rumus Baris dan Deret Aritmatika

Bentuk Umum Barisan Aritmetika

 dengan  bilangan asli

Rumus Suku ke-n

atau

Keterangan:

 = suku ke-n

 = a = suku pertama
n = jumlah atau banyaknya suku
b = beda atau selisih

Rumus Beda atau Selisih

Keterangan:

b = beda atau selisih

 = suku ke-n
 = suku sebelum suku ke-n

Rumus Suku Tengah

atau

Jika jumlah atau banyak suku dari suatu barisan aritmetika adalah ganjil, maka rumus untuk mencari suku tengahnya adalah sebagai berikut:

Keterangan:
 = suku tengah
 = suku terakhir
a = suku pertama
n = jumlah atau banyaknya suku

Kalau jumlah atau banyak sukunya genap, gimana tuh? Itu berarti barisan aritmetika tersebut nggak ada suku tengahnya, Sob.

Rumus Sisipan

Nah, gimana jadinya kalau elo menyisipkan bilangan dengan jumlah k ke dalam barisan aritmetika yang udah ada? Pastinya hal tersebut akan menyebabkan terbentuknya barisan aritmetika yang baru dan beberapa rumus di bawah ini juga ikut berubah, nih.

atau

Keterangan:

 = jumlah atau banyaknya suku barisan aritmetika baru
n = jumlah atau banyaknya suku barisan aritmetika lama
k = jumlah atau banyaknya bilangan yang disisipkan ke barisan aritmetika lama
 = beda atau selisih barisan aritmetika baru
b = beda atau selisih barisan aritmetika lama

III. Rumus-rumus Deret Aritmatika 

Bentuk Umum Deret Aritmetika

 dengan  bilangan asli

Rumus Suku ke-n

atau

Keterangan:
 = suku ke-n
 = suku ke-n
 = a = suku pertama
n = jumlah atau banyaknya suku
b = beda atau Selisih

IV. Contoh Soal Baris dan Deret Aritmatika

Biar elo semua makin pol ngerti, coba cermati beberapa contoh soal cerita barisan aritmatika dalam kehidupan sehari hari dan deret aritmetika di bawah ini, ya!

Contoh Soal 1

Terdapat sebuah barisan bilangan seperti berikut 3, 5, 7, 9, …
Berapakah suku ke-30 dari barisan tersebut?

Pembahasan
Diketahui:
a = 3
b = 
= 5-3
= 2
Ditanyakan: U30?
Jawab:

= 3 + (30-1)2
= 3 + (29)2
= 3 + 58
= 61

Jadi, suku ke-30 dari barisan aritmetika tersebut adalah 61.

Contoh Soal 2

Terdapat sebuah barisan aritmetika sebagai berikut: 2, 6, 10, 14, …, 74. Berapa nilai suku tengahnya? Terletak pada suku ke berapa nilai tengah tersebut?

Pembahasan
Diketahui:
1. a = 2
2. b = 
= 6-2
= 4
3.  = 74

Ditanyakan:

a). ?

b). t suku tengah?

Jawab:
a). ?

= 1/2(2+74)
= 1/2(76)
= 38

Jadi, nilai suku tengah dari barisan aritmetika tersebut adalah adalah 38.

b). t suku tengah?

74 = 2 + (n-1)4
74 = 2 + 4n-4
74 = 4n – 2
74 +2 = 4n
76 = 4n
76/4 = n
19 = n

Jadi, jumlah atau banyaknya suku ada 18.

t = 1/2(n +1)
t = 1/2(19 +1)
t = 1/2(20)
t = 10.

Maka, suku tengah pada barisan aritmetika tersebut terletak pada suku ke-10.

Contoh Soal 3

Terdapat sebuah barisan aritmetika sebagai berikut 20 + 18 + 16, …
Tentukan berapa jumlah 12 suku pertamanya!

Diketahui:
a = 20
b = 2
Ditanyakan: Sn?
Jawab:

 =  (20 + 20 + (12-1)2))
= 6 (40 + 24 – 2)
= 6 (62)
= 372.

Jadi, jumlah 12 suku pertama dari barisan aritmetika tersebut adalah 372.

 

Contoh Soal 4

 

Latihan Soal Ujian Nasional 

1. Seorang pemetik kebun memetik jeruknya setiap hari, dan mencatat banyaknya jeruk yang dipetik.  Ternyata banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus Un = 50 + 25n. Jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari yang pertama adalah .......

A. 2.000 buah
B. 1.950 buah
C. 1.900 buah
D. 1.875 buah
E. 1.825 buah

Pembahasan:
Diketahui Un = 50 + 25n, maka:
U₁ = 50 + 25(1) = 75
U₁₀ = 50 + 25(10) = 300
Sn = n/2 (a + Un)
S₁₀ = 10/2 (75 + 300)
      = 5(375)
      = 1.875
Jadi, jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari pertama adalah 1.875 buah
(JAWABAN: D)

Soal 2 (UN 2014)
Seorang pegawai kecil menerima gaji tahun pertama sebesar Rp3.000.000,00. Setiap tahun gaji tersebut naik Rp500.000,00. Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah ....
A. Rp7.500.000,00
B. Rp8.000.000,00
C. Rp52.500.000,00
D. Rp55.000.000,00

Pembahasan:

Diketahui:
Gaji awal (a) = 3.000.000
Kenaikan gaji (b) = 500.000
Ditanyakan:
Jumlah gaji selama 10 tahun (S₁₂).

Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)

S₁₀ = 10/2 (2(3.000.000) + ((10-1).(500.000))
S₁₀ = 5(6.000.000 + 4.500.000)
S₁₀ = 5(10.500.000)
S₁₀ = 52.500.000

Jadi, Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah Rp52.500.000,00
(JAWABAN: C) 

 

V. Barisan dan Deret Geometri

Barisan dan deret geometri adalah salah satu materi yang dipelajari dalam Matematika SMA. Barisan geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan.

Perbandingan atau rasio antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu r. Nilai suku pertama dilambangkan dengan a.

 

VI. Rumus Barisan dan Deret Geometri 

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat dihitung dengan rumus berikut.

Sedangkan, deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri.

Penjumlahan dari suku-suku pertama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung dengan rumus berikut.

dengan syarat r < 1

atau

dengan syarat r > 1

 

 

VII. Contoh Soal Baris dan Deret Geometri 

Contoh Soal 1: Soal Khusus

Selembar kertas dipotong menjadi dua bagian. Setiap bagian dipotong menjadi dua dan seterusnya. Jumlah potongan kertas setelah potongan kelima sama dengan… 

Pembahasan:

Diketahui: a = 1

r = 2

Ditanya: 

Jawab:

= 16

Jadi, jumlah potongan kertas setelah potongan kelima adalah 16

Contoh Soal 2

Pada sebuah deret geometri diketahui bahwa suku pertamanya adalah 3 dan suku ke-9 adalah 768. Suku ke-7 deret tersebut adalah…

Pembahasan:

Diketahui: a = 3

Ditanya: 

Jawab:

Sebelum kita mencari nilai dari  , kita akan mencari nilai r terlebih dahulu.

Ingat kembali bahwa  sehingga   dapat ditulis menjadi

Sehingga,

Jadi, suku ke-7 deret tersebut adalah 192.

Contoh Soal 3

Diketahui suku ke-5 dari barisan geometri adalah 243, hasil bagi suku ke-9 dengan suku ke-6 adalah 27. Suku ke-2 dari barisan tersebut adalah…

Pembahasan

Dalam contoh soal barisan dan deret geometri di atas, diketahui 

Ditanya  
Jawab:

Sebelum kita mencari nilai dari , kita akan mencari nilai a dan r terlebih dahulu.

Ingat kembali  maka

Substitusikan r = 3 ke persamaan  

sehingga

= 9

Jadi, suku ke-2 dari barisan tersebut adalah 9.

Contoh Soal 4

Jumlah 6 suku pertama deret geometri 2 + 6 + 18 + … adalah…

Pembahasan

Diketahui: a =  2

r = 3

ditanyakan 

Jawab:

Jadi, jumlah 6 suku pertama deret geometri tersebut adalah 728.

Contoh Soal 5 

 

 

VII. Pengertian Bunga

Bunga yaitu selisih antara jumlah uang yang dipinjamkan oleh pemodal dengan jumlah uang yang akan dikembalikan oleh pemakai modal menurut kesepakatan bersama.

Adapun besarnya bunga dipengaruhi oleh:  besarnya jumlah uang yang dipinjam, jangka waktu untuk meminjam, dan tingkat suku bunga / persentase. Bunga dibedakan menjadi 2 jenis, yakni bunga Tunggal dan bunga Majemuk. Berikut uraiannya.

 

IX. Jenis-jenis Bunga

Berikut ini merupakan jenis-jenis bunga menurut besarnya bunga yang dibayarkan untuk setiap periode:

X. Bunga Tunggal

Bunga Tunggal

Bunga tunggal yaitu bunga yang dibayar untuk setiap periodenya dengan jumlah yang tetap. Bunga tunggal ini dihitung menurut modal awal.

Rumus bunga tunggal pada akhir periode;

Rumus besarnya modal pada akhir;

Keterangan:

B = bunga

M₀ = modal awal

M_t = modal pada akhir periode – t

t = periode

r = tingkat suku bunga (persentase)

 

Contoh soal

Sebuah lembaga koperasi simpan pinjam, memberikan bunga pinjaman untuk anggotanya sebanyak 2% per bulannya. Jika Nia meminjam uang sejumlah Rp. 800.000 dengan jangka waktu 4 bulan, tentukanlah besarnya bunga untuk setiap bulannya yang harus oleh Nia sesuai jangka waktu yang telah disepakati!

Jawab:

M₀ = Rp. 800.000

r = 2 %

t =  4 bulan

Sehingga, besarnya bunga untuk setiap bulan dihitung dengan:

dan jumlah uang yang harus dikembalikan setelah 4 bulan;

 

XI. Bunga Majemuk

Bunga majemuk yaitu, bunga yang dihitung menurut jumlah modal yang dipakai ditambahkan dengan akumulasi bunga yang telah terjadi. bunga majemuk ini sering disebut dengan bunga berbunga, bunga majemuk dapat dihitung dengan menggunakan deret geometri.

Misalkan, Modal Sejumlah M₀, akan diberlakukan bunga majemuk,dengan tingkat suku bunga i (dalam persentase) per periode waktu. Besarnya modal saat periode ke-t (Mt) bisa dihitung dengan cara:

Sehingga, rumus untuk besar modal pada periode ke-t dengan bunga majemuk yaitu;

keterangan;

M_t = modal pada akhir periode – t

M₀ = modal awal

i = tingkat suku bunga

t = periode

Contoh soal

Sebuah bank swasta memberikan pinjaman kepada nasabahnya sebesar Rp. 6.000.000 dengan perhitungan bunga majemuk 3% per tahun. berapakah modal yang harus dikembalikan nasabah tersebut setelah 1 tahun?

Jawab:

M₀ = Rp. 6.000.000

i = 3% = 0,03

t = 12 bulan

Modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun /12 bulan yaitu:

 

XII. Anuitas

Anuitas yaitu sistem pembayaran atau penerimaan secara berurutan dengan jumlah serta waktu yang tetap /tertentu. Apabila sebuah pinjaman dikembalikan secara anuitas, maka ada tiga hal yang menjadi dasar dari perhitungannya, yakni;

1. Besarnya pinjaman,

2. Besarnya bunga, dan 

3, besarnya waktu serta jumlah periode pembayaran

Anuitas diberikan secara tetap untuk tiap akhir periode yang fungsinya membayar bunga atas hutang, dan mengangsur hutang itu sendiri, sehingga perhitungannya;

Anuitas = Bunga atas hutang + Angsuran hutang

Jika hutang sebesar M₀ = Memperoleh bunga sebesar b per bulannya dengan anuitas sebesar A, maka bisa ditentukan:

Besarnya bunga pada periode ke-n;

Besar angsuran pada akhir periode ke-n: ditentukan dengan;

dan sisa hutang pada akhir periode ke-n;

XIII. Pertumbuhan

Pertumbuhan yaitu pertambahan atau  kenaikan nilai suatu besaran terhadap besaran yang sebelumnya yang umumnya mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). 

Contoh dari pertumbuhan misalnya perkembangbiakan amoeba dan pertumbuhan penduduk.

Rumus pertumbuhan linear;

Sedangkan rumus pertumbuhan eksponensial;

Keterangan;

P_n = nilai besaran setelah n periode

P₀ = nilai besaran pada awal periode

b = tingkat pertumbuhan

n = banyaknya periode pertumbuhan

Contoh Soal

Pada telapak tangan yang kotor, bakteri dapat mengalami peningkatan 4% secara eksponensial untuk 2 jam sekali. Saat ini terdapat bakteri sebanyak 200.000 pada telapak tangan tersebut. Hitunglah banyaknya bakteri setelah 2 jam kemudian!

Jawab;

P₀ = 200.000

b = 4% = 0,04

n = 2 jam

Banyaknya bakteri setelah 2 jam;

P_n = P0 (1+b)n

P₂ = 200.000 (1 + 0,04)2

P₂ =  200.000 (1,0816)

P₂ =  216.320 bakteri

 

XIV. Peluruhan 

Peluruhan yaitu berkurangnya nilai atau penurunan suatu besaran terhadap nilai besaran yang sebelumnya, yang umumnya mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). Peluruhan misalnya, peluruhan zat radioaktif dan penurunan harga jual mobil.

Rumus peluruhan linear;

Rumus peluruhan eksponensial;

Keterangan;

P_n = nilai besaran setelah n periode

P₀ = nilai besaran pada awal periode

b = tingkat peluruhan

n = banyaknya periode pertumbuhan

Contoh Soal

Sebuah bahan radioaktif, mulanya berukuran 150 gram mengalami reaksi kimia sehingga mengalami penyusutan sebanyak 3% dari ukuran sebelumnya setiap 4 jam secara eksponensial. Tentukanlah ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 1 hari!

Jawab:

P₀ = 100 gram

b = 3% = 0,03

Setelah 1 hari, maka ukuran radioaktif tersebut;

 

Maka sekian penjelasan saya mengenai bab kali ini, Semoga apa yang tertera di atas dapat menjadi bahan pembelajaran bagi kita semua. 

Terimakasih.

Referensi :

https://www.zenius.net/blog/barisan-dan-deret-aritmetika#Baris_dan_Deret_Aritmatika 

https://www.zenius.net/blog/contoh-soal-barisan-dan-deret-geometri

https://rumushitung.com/2021/04/16/bunga-pertumbuhan-peluruhan-pengertian-jenis-dan-rumusnya/#Pengertian_Bunga

https://www.ruangsoal.id/2018/07/kumpulan-soal-cerita-dan-pembahasan_15.html