Rabu, 04 Januari 2023

Limit Fungsi Aljabar Matematika Kelas 11. TERLENGKAP dan MUDAH DIPAHAMI.

Daftar Isi 

I. Pengertian Limit Fungsi Aljabar 

II. Sifat-sifat Limit Fungsi 

III. Mencari Nilai Limit Fungsi & Contoh Soal

IV. Teorema Limit 

V. Limit Tak Tentu

 

I. Pengertian Limit Fungsi Aljabar

Sebelum mulai memahami konsep dengan lebih mendalam tentang materi limit Matematika dan mencoba menyelesaikan contoh soal limit fungsi aljabar, elo harus memahami pengertiannya dulu.

Nah, limit adalah suatu nilai yang menggunakan pendekatan fungsi saat mendekati nilai tertentu. Kalau bahasa sederhananya, limit dapat dikatakan sebagai nilai yang menuju suatu batas, batas yang bisa dikatakan dekat namun tidak bisa dicapai. 

materi limit matematika
Illustrasi materi limit Matematika (Dok. shutterstock.com)

Kok tetep ribet ya? Hehehe… Kalau gitu, coba lihat konsep atau bentuk umum dari limit fungsi di bawah ini:

Limit f(x) mendekati c sama dengan L, ditulis:

Memahami Limit Fungsi Aljabar - Materi Matematika Kelas 11 170

jika untuk setiap x yang cukup dekat dengan c tetapi x≠cf(x) mendekati L.

Gimana? Sudah ada bayangan belum mengenai pengertian limit fungsi aljabar?


Bentuk Umum Limit Fungsi Aljabar

II. Sifat-sifat Limit Fungsi

 

Sifat-sifat Limit Fungsi Aljabar

Seperti yang gue jelaskan sebelumnya, sifat-sifat limit fungsi dalam materi limit Matematika fungsi aljabar kelas 11 sangat penting untuk dipahami karena akan berguna sebagai bekal atau dasar saat elo mencari nilai suatu limit dalam soal-soal.

Jadi, untuk memahami dengan benar setiap sifatnya bisa elo lakukan saat mengerjakan latihan soal. 

Sifat-sifat limit fungsi aljabar ditentukan jika n adalah bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di c, maka selanjutnya berlaku teorema-teorema berikut:

Memahami Limit Fungsi Aljabar - Materi Matematika Kelas 11 171
Memahami Limit Fungsi Aljabar - Materi Matematika Kelas 11 172
Memahami Limit Fungsi Aljabar - Materi Matematika Kelas 11 173
Memahami Limit Fungsi Aljabar - Materi Matematika Kelas 11 174
Memahami Limit Fungsi Aljabar - Materi Matematika Kelas 11 175
Memahami Limit Fungsi Aljabar - Materi Matematika Kelas 11 176
Memahami Limit Fungsi Aljabar - Materi Matematika Kelas 11 177
Memahami Limit Fungsi Aljabar - Materi Matematika Kelas 11 178
Memahami Limit Fungsi Aljabar - Materi Matematika Kelas 11 179

III. Mencari Nilai Limit Fungsi & Contoh Soal

Setelah mengetahui apa saja sifat dari limit, selanjutnya dalam materi limit Matematika, ada cara mencari nilai limit fungsi yang bisa dilakukan menggunakan 3 metode, yaitu metode substitusi, pemfaktoran, dan mengalikan dengan faktor sekawan. 

Berikut gue jelaskan dengan lebih lanjut mengenai ketiga metode tersebut lengkap dengan contoh soal limit fungsi aljabar dan pembahasannya. 

Metode Substitusi

Metode substitusi merupakan cara yang paling dasar untuk mencari nilai limit. Metode ini dilakukan dengan mensubstitusi langsung nilai kedalam fungsi f(x).

Contoh Soal:

Memahami Limit Fungsi Aljabar - Materi Matematika Kelas 11 180

Metode Pemfaktoran

Jika pada metode substitusi menghasilkan suatu nilai bentuk tak tentu seperti:

Memahami Limit Fungsi Aljabar - Materi Matematika Kelas 11 181

maka fungsi tersebut harus difaktorkan terlebih dahulu, kemudian baru bisa disubstitusikan.

Contoh Soal:

Memahami Limit Fungsi Aljabar - Materi Matematika Kelas 11 182

Metode Mengalikan dengan Faktor Sekawan

Jika pada metode substitusi menghasilkan nilai limit yang irasional, maka fungsi dikalikan dengan akar sekawannya, kemudian bisa disubstitusikan.

Contoh Soal:

Memahami Limit Fungsi Aljabar - Materi Matematika Kelas 11 183

 

1. Soal UNBK SMA IPA 2018 |*Soal Lengkap

Diketahui f(x)={3xp, x22x+1, x>2 Agar limx2f(x) mempunyai nilai, maka p=...
(A) 2(B) 1(C) 0(D) 1(E) 2
Alternatif Pembahasan:

Berdasarkan definisi limit, agar limx2f(x) mempunyai nilai maka Limit Kiri = Limit Kanan secara simbol dituliskan limx2+f(x)=limx2f(x)=L

Limit kanan limx2+f(x) limx2+(2x+1)=2(2)+1=5

Limit kiri limx2f(x) limx2(3xp)=3(2)p=6p

Berdasarkan definisi agar limx2f(x) mempunyai nilai yaitu Limit Kiri = Limit Kanan maka: 6p=5 65=p p=1

 Pilihan yang sesuai adalah (D) 1

1. Tentukan :

soal limit fungsi aljabar no 1

maka nilai limit tersebut adalah…

Jawaban : 

soal limit fungsi aljabar no 1-1

2. Tentukan :

soal limit fungsi aljabar no 2

maka nilai limit tersebut adalah… 

Jawaban : 

soal limit fungsi aljabar no 2-1

3. Tentukan : 

soal limit fungsi aljabar no 3

maka nilai limit tersebut adalah…

Jawaban : 

soal limit fungsi aljabar no 3-1

4. Tentukan :

soal limit fungsi aljabar no 4

maka nilai limit tersebut adalah…

Jawaban : 

soal limit fungsi aljabar no 4-1

5. Tentukan :

  

maka nilai limit tersebut adalah…

Jawaban : 

soal limit fungsi aljabar no 5-1

6. Tentukan nilai

soal limit fungsi aljabar no 6

maka nilai limit tersebut adalah…

Jawaban : 

soal limit fungsi aljabar no 6-1

7. Tentukan :

soal limit fungsi aljabar no 7  

maka nilai limit tersebut adalah…

Jawaban : 

soal limit fungsi aljabar no 7-1

8. Tentukan :

soal limit fungsi aljabar no 8

maka nilai limit tersebut adalah…

Jawaban : 

soal limit fungsi aljabar no 8-1

9. Tentukan :

soal limit fungsi aljabar no 9

maka nilai limit tersebut adalah…

Jawaban : 

soal limit fungsi aljabar no 9-1

10. Tentukan :

soal limit fungsi aljabar no 10

 

 

maka nilai limit tersebut adalah…

Jawaban : 

soal limit fungsi aljabar no 10-1

 

 

III. Teorema Limit 

Limit dalam bahasa umum bermakna batas. 

Definisi dari limit ini menyatakan bahwa suatu fungsi f(x) akan mendekati nilai tertentu jika x mendekati nilai tertentu. 

Pendekatan ini terbatas antara dua bilangan positif yang sangat kecil yang disebut sebagai epsilon dan delta. 

Hubungan ke-2 bilangan positif kecil ini terangkum dalam definisi limit.

Limit Matematika

Limit 0/0

Bentuk 0/0 kemungkinan timbul dalam

Limit 0

ketika kita menemukan bentuk seperti itu coba untuk sederhanakan fungsi tersebut. 

Jika itu bentuk persamaan kuadrat kita bisa coba memfaktorkan atau dengan cara asosiasi, dan jangan lupa aturan a2-b2 = (a+b) (a-b). 
Berikut adalah contohnya :

Contohnya:

Contoh
Contoh Limit 0

Limit ∞/∞

Bentuk limit  ∞/∞ terjadi pada fungsi suku banyak (polinom) seperti :

Limit Tak Hingga
Contoh
Contoh Limit Tak Hingga

Rumus cepat limit bentuk  ∞/∞

Rumus Cepat Limit Tak Hingga
  • Jika m<n maka L = 0
  • Jika m=n maka L = a/p
  • Jika m>n maka L = ∞

 IV. Limit Tak Tentu

Fungsi limit tak hingga digunakan untuk menggambarkan keadaan limit x mendekati tak hingga atau dinotasikan dengan lim x → ∞ f(x). 

Untuk menyelesaikan limit tak hingga dari suatu fungsi aljabar, terdapat dua cara yang umum digunakan. 

Berikut gue jelaskan lebih lanjut mengenai cara-cara tersebut dan juga contoh soal limit fungsi tak hingga dan pembahasannya. 


Contoh Soal:

Memahami Limit Fungsi Aljabar - Materi Matematika Kelas 11 185
Memahami Limit Fungsi Aljabar - Materi Matematika Kelas 11 186
Memahami Limit Fungsi Aljabar - Materi Matematika Kelas 11 187

Contoh Soal:

Memahami Limit Fungsi Aljabar - Materi Matematika Kelas 11 188
Memahami Limit Fungsi Aljabar - Materi Matematika Kelas 11 189

 

Bentuk (∞-∞) sering sekali muncul pada saat ujian nasional. 

Bentuk soalnya sangat beragam. Namun, penyelesaiannya tidak jauh dari penyederhanaan. 

Contoh
Contoh Limit Tak Hingga 2

Jika disubstitusikan x -> 1 maka bentuknya akan mmenjadi (∞-∞). 

Dan untuk menghilangkan bentuk ∞-∞ kita sederhanakan bentuk tersebut menjadi

Contoh Limit Tak Hingga 3

Rumus Cepat limit tak hingga

Rumus cepat mengerjakan limit tak hingga yang pertama dapat digunakan untuk bentuk soal limit tak hingga pada bentuk pecahan. 

Untuk memperoleh nilai limit tak hingga bentuk pecahan kita hanya perlu memperhatikan pangkat tertinggi dari masing-masing pembilang dan penyebut.

Rumus ke-3 nilai limit tak terhingga bentuk pecahan tersebut dapat dilihat pada persamaan dibawah ini.

Rumus Cepat Limit Tak Hingga 3

Contoh
Contoh Rumus Cepat Limit Tak Hingga 3

Nilai pangkat tertinggi pada pembilang adalah 3. Nilai pangkat tertinggi penyebut adalah 2 (m>n). Jadi, nilai limitnya adalah ∞.

 

Sekian Pembahasan Mengenai Materi Limit Kali ini Semoga apa yang tertera di atas dapat membantu menambah pengetahuan kalian yaa!.

 

Referensi:

https://www.zenius.net/blog/pembahasan-limit-fungsi-beserta-limit-menuju-tak-hingga 

https://www.ruangguru.com/blog/konsep-limit-fungsi-aljabar-dan-sifat-sifatnya 

https://gurubelajarku.com/limit-fungsi/#Teorema_Limit 

https://www.gramedia.com/literasi/limit-fungsi-aljabar/ 

Turunan Fungsi Aljabar Matematika Kelas 11. TERLENGKAP dan MUDAH DIPAHAMI.

Daftar Isi  1.Pengertian  Turunan Fungsi Aljabar  ll.Sifat Sifat Turunan Fungsi  lll. Mencari  Nilai  Turunan Fungsi  & Contoh Soal IV. ...