Bilangan Rasional

1. 1/2

2. 2/3

3. 3/4

4. 4/5

5. 5/6

6. 10/3

7. 12/5

8. 9/7

9. 17/4

10. 8/9

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b di mana a, b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0.

Bilangan Irasional

Bilangan Rasional – yang dinamakan dengan bilangan rasional ialah suatu bilangan yang bisa dinyatakan kedalam bentuk a/b berupa (pecahan) yang mana a & b merupakan bilangan bulat dan bilangan b bukanlah nol. Selain itu, bilangan rasional juga mempunyai batasan yakni terdapat di selang (-∞,∞). Bila kita membahas masalah bilangan rasional, maka yang ada didalamnya telah mencakup beberapa bilangan. Diantaranya bilangan bulat, asli, cacah, prima, dan juga bilangan lainnya yang menjadi anggota bilangan rasional tersebut.

Pengertian dan Contoh Bilangan Rasional

Ketika awal masuk pada jenjang SMP, ada pembahasan tentang materi bilangan bulat. Sedangkan setiap bilangan bulat bisa dinyatakan menjadi bentuk pecahan.

Misalnya,

Pengertian dan Contoh Bilangan Rasional

Sehingga bilangan bilangan yang bisa ditulis kedalam bentuk pecahan juga bisa disebut sebagai bilangan rasional. Sementara uraian tersebut juga sudah memperjelas definisi dari bilangan rasional, yakni sebagai berikut ini.

Bilangan rasional merupakan bilangan yang bisa dinyatakan kedalam bentuk a/b sementara a, b adalah bilangan bulat dengan b ≠ 0.

Pengertian Dan Contoh Bilangan Irrasional

Sementara untuk bilangan irrasional ialah kebalikan bilangan rasional.

Dalam ilmu matematika, bilangan irasional merupakan bilangan riil yang tak dapat dibagi (atau hasil baginya tak pernah berhenti). Untuk hal ini, maka bilangan irasional tak dapat dinyatakan menjadi a/b, sementara a dan b adalah bilangan bulat dengan b tak sama dengan 0.

Contoh Bilangan Irrasional

Untuk contoh bilangan irasional paling populer ialah bilangan π, √2, dengan bilangan e.

Namun sebenarnya bilangan π tidak tepat, karena kurang lebih 3.14, namun = 3,1415926535…. ataupun = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510…

Sedangkan untuk bilangan √2 adalah:

= 1,4142135623730950488016887242096…. ataupun

= 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798…

= 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798…

Sementara untuk bilangan e adalah:

= 2,7182818…

Sebenarnya bilangan irasional merupakan bilangan yang tak rasional. Jadi, bilangan irasional ialah bukan termasuk bilangan bulat maupun bukan juga bilangan pecahan. Sehingga bila bilangan tersebut ditulis kedalam bentuk desimal, maka bilangan tersebut tidak memiliki pola yang berulang dengan teratur. Sedangkan himpunan bilangan irasional ialah himpunan yang unsur-unsurnya adalah bilangan rasional.

Ada contoh lain dari bilangan irasional ialah √3 = 1,732050807 pada contoh ini ternyata tak memiliki pola berulang yang teratur serta tidak akan berakhir. Oleh karena itu, bilangan √3 adalah salah satu contoh dari bilangan irasional. Sedangkan bilangan-bilangan, n , serta e adalah contoh- contoh lain dari bilangan irasional yakni:

N =3,14

E = 2, 71828

Sebuah bilangan irasional yang dapat dinyatakan kedalam akar sebuah bilangan, contohnya adalah √2, √(3 ), √( 5) , & √6 bisa dinyatakan sebagai hasil dari pengukuran panjang. Oleh karena itu, dengan adanya bantuan dalil Phytagoras, maka nilai bilangan – bilangan itu bisa ditunjukan dengan visual pada suatu ruas garis. Bila satuan yang digunakan untuk mengukur merupakan satuan cm, jadi √2 cm, √( 5) cm, √(3 ) cm, & √6 cm.

Sementara penjumlahan yang ada dalam himpunan bilangan asli, operasi pengurangan dalam himpunan bilangan bulat, serta pengkuadratan dalam himpunan bilangan asli, adalah 3 contoh dari operasi bilangan. Selain itu, operasi penjumlahan, perkalian, pengurangan, ataupun pembagian, dapat dimulai dengan mengambil 2 unsur sehingga bisa memperoleh unsur ketiga. Pada operasi tersebut bisa disebut dengan operasi biner. Kata “Bi” berarti dua. Sementara operasi-operasi pengkuadratan & penarikan akar dinamakan dengan operasi singular karena Cuma melibatkan satu unsure saja.

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL

Persamaan dan Pertidaksamaan Irrasional

Materi yang akan kita pelajari saat ini adalah materi kelas X pada kurikulum 2013.
Kesempatan ini akan kita bahas dan pelajari materi persamaan dan pertidaksamaan irrasional terlebi dahulu. Anda pasti tahu bahwa bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a dan b anggota bilangan bulat. Contoh bilangan irasional salah satunya adalah bentuk akar bilangan tertentu, misalnya akar 2, akar 5, akar 8. Bilangan akar 9 bukan termasuk bilangan irasional, sebab akar 9 dapat dinyatakan dalam bentuk 3/1. Bilangan 5,33333.... bukan termasuk bilangan irasional sebab 5,3333... = 16/3.

Dalam kesempatan ini akan dibahas tentang bentuk akar yang melibatkan variabel.
Perlu Anda ketahui bahwa syarat suatu bilangan mempunyai nilai real adalah bilangan itu ada nilainya dengan nyata. Dengan demikian bilangan di dalam akar harus nonnegatif.
Perhatikan contoh berikut.

Contoh 1
Tentukan nilai x agar bentuk akar di bawah ini terdefinisi.

Jawaban:

Ingat : syarat nilai di dalam akar nonnegatif (>= 0) (>= dibaca lebih dari atau sama dengan)

Soal – soal di atas dapat diselesaikan dengan langkah berikut.

1.    2x – 4 >= 0

     2x >= 4

x >= 2

     Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x >= 2.

2.    3x + 21 >= 0

     3x >= –21

     x >= –7

     Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x >= –7.

3.    X² – 3x – 10 >= 0

     (x – 5)(x + 2) >= 0

     x <= –2 atau x >= 5

     Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x <= –2 atau x >= 5.

 Selanjutnya mari membahas tentang persamaan dan pertidaksamaan irasional atau yang mengandung bentuk akar.

Perhatikan sifat-sifat dan rumus-rumus bentuk akar di bawah ini.

Lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

Contoh 2.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan di bawah ini.

Jawaban :
Untuk menyelesaikan persamaan bentuk akar di atas, perhatikan bilangan dan fungsi yang berada di dalam tanda  akar.

Soal – soal di atas dapat diselesaikan dengan langkah berikut.

1.    4x – 5 = 3

4x = 3 + 5

4x = 8

       x = 2

     Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2}.

2.    3x + 7 = 2²

3x + 7 = 4

           3x = 4 – 7

           3x = –3

             x = –1

     Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–1}.

3.   6x – 5 = 2x + 7

6x – 2x = 7 + 5

       4x = 12

         x = 3

Untuk x = 3, nilai f(3) = 6(3) – 5 = 18 – 5 = 13 (>=0)

Begitu juga nilai g(3) = 13 (>=0)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3}.


Selanjutnya perhatikan contoh lain berikut.

Contoh 3.

Jawaban:
Untuk penyelesaiannya sebagai berikut.

Untuk nilai x = -1, tidak memenuhi syarat batasan x.



 Coba perhatikan penyelesaian nomor 2.

Dengan kondisi di atas, maka kuadratkan lagi kedua ruas tersebut.  Perhatikan langkah berikutnya. Ingat,tujuan terakhir adalah menentukan nilai x.

Syarat X+3 >= 0 dan 30 - x >=0.
Atau digabungkan menjadi syarat:
-3 <= x <= 30.











Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {6}.

splk

x + 2y - 3 = 0

x = 3 - 2y

x² + y² + 2x + y - 5 = 0

(3 - 2y)² + y² + 2(3 - 2y) + y - 5 = 0

9 - 12y + 4y² + y² + 6 - 4y - 5 = 0

5y² - 15y + 10 = 0

y² - 3y + 2 = 0

(y - 1)(y - 2) = 0

y = 1 atau y = 2

y = 1

x = 3 - 2y

x = 3 - 2

x = 1

y = 2

x = 3 - 2.2

x = -1

SPLTV kontekstual

SPtKK

A) 2x^2-y^2=z^2 dan x+y=2z^2
B) x^2+3y^2=6 dan 3x-y=z
C) 2x^2-3y^2=10 dan x(2x)+2y=12
D) x+3y=12 dan x^2-6=y
E) 2x-8y=16 dan 8-x^2 = z

15)Sistem persamaan y=x^2+kx+3/4k dan y=-2x-3/2 , mempunyai dua penyelesaian , nilai k yang memenuhi adalah

16)Sistem persamaan y=4x+p dan y=x^22x+3 , mempunyai penyelesaian tunggal , nilai p adalah
A)9 B)6 C)3 D)-3 E)-6

19)Diketahui (2,1) merupakan penyelesaian dari sistem persamaan by=(a-a^2)x+a^2+3 dan 2by=ax+2 . Nilai a+b =
A)-2 b)-1 c)0 d)1 e)2

20)Salah satu penyelesaian sistem persamaan y=2x^2-x+2k dan y=x^2+3x+k adalah (k,21), dengan k>0. Penyelesaian yg lain adalah

21)salah satu penyelesaian sistem persamaan y=3x^2+(k-1)x+1 dan y=2x^2-kx-3 adalah (k-7,41), dengan k-7 < 0 . Penyelesaian yang kain dari sistem persamaan tsb adalah

24)Luas segitiga 150cm^2 . Selisih alas dan tinggi segitiga tsb 5cm. Jika alas segitiga lebih panjang daripada tingginya , sistem persamaan dari permasalahan tsb dpt ditulis menjadi
A) t2+5t+300=0
B) t2+5t-300=0
C)t2-5t-300=0
D)t2+10t+300=0
E)t2-10t-300=0

27) Pada gambar

28) Pada Gambar

SPLTV

MATEMATIKA
"SISTEM PERSAMAAN TIGA VARIABEL"

Contoh Soal:
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y - 2z = 12
x + y + 4z = 20

Pembahasan :
Langkah pertama kita tentukan variabel apa yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat peubah yang paling sederhana. Pada tiga persamaan di atas, peubah yang paling sederhana adalah peubah x sehingga kita akan eliminasi x terlebih dahulu.

Untuk menghilangkan peubah x, maka kita harus samakan bilangannya. Pada persamaan pertama dan ketiga sudah sama tapi persamaan kedua berbeda. Untuk menyamakannya, persamaan kedua dikali 1, persamaan pertama dan ketiga dikali 2.

x + 3y + 2z = 16  |x 2| ⇒ 2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y - 2z = 12 |x 1| ⇒ 2x + 4y - 2z = 12
x + y + 4z = 20    |x 2| ⇒ 2x + 2y + 8z = 40

Selanjutnya, kita eliminasi peubah x sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel dengan variabel y dan z dengan proses seperti di bawah ini.

Dari persamaan pertama dan kedua diperoleh:
2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y - 2z = 12 _
        2y + 6z = 20

Dari persamaan kedua dan ketiga diperoleh:
2x + 4y - 2z = 12
2x + 2y + 8z = 40 _
        2y - 10z = -28 

Dengan demikian kita peroleh SPLDV sebagai berikut:
2y + 6z = 20
2y - 10z = -28

Selanjutnya kita selesaikan SPLDV dengan metode eliminasi.

Eliminasi peubah y untuk memperoleh nilai z:
2y + 6z = 20
2y - 10z = -28 _
        16z = 48
            z = 3 

Eliminasi peubah z untuk memperoleh nilai y:
2y + 6z = 20    |x 5| ⇒ 10y + 30z = 100
2y - 10z = -28 |x 3| ⇒ 6y - 30z = -84

10y + 30z = 100
6y - 30z = -84 +
16y = 16
y = 1

Langkah terakhir, substitusi nilai y dan z yang diperoleh ke salah satu persamaan pada SPLTV:
⇒ x + 3y + 2z = 16
⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16
⇒ x + 3 + 6 = 16
⇒ x + 9 = 16
⇒ x = 16 - 9
⇒ x = 7 

Jadi, himpunan penyelesaian SPLTV tersebut adalah {(7, 1, 3)}