Sistem persamaan:
y = 2 – x
y = x2 – 3x + 2
merupakan contoh sistem persamaan linear dan kuadrat. Dengan demikian, dapat kita simpulkan definisi dari sistem persamaan linier dan kuadrat (SPLK) adalah sebagai berikut.
Sistem persamaan linear dan kuadrat atau disingkat SPLK adalah sistem persamaan yang terdiri atas sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang masing-masing bervariabel dua. |
Jenis SPLK dan Bentuk Umumnya
Berdasarkan karakteristik dan bagian bentuk kuadratnya, sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu sebagai berikut.
1. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit
Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk eksplisit jika persamaan itu dapat diubah menjadi bentuk y = f(x) atau x = f(y). Oleh karena itu, SPLK eksplisit ini memiliki bentuk umum sebagai berikut.
y = ax + b ……………………. (bagian linear) y = px2 + qx + r ……………. (bagian kuadrat) |
2. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit
Persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk implisit jika persamaan itu mempunyai bentuk umum sebagai berikut.
ax + by + c = 0 ………………………………. (bagian linear) px2 + qy2 + rxy + sx + ty + u = 0……. (bagian kuadrat) |
Cara Menentukan Penyelesaian SPLK
Secara umum, untuk menyelesaikan SPLK, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
Langkah 1: Pada bagian persamaan linear, nyatakan x dalam y atau y dalam x.
Langkah 2: Subtitusikan x atau y yang diperoleh dari langkah pertama ke bagian bentuk kuadrat sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.
Langkah 3: Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh dari langkah dua, kemudian nilai-nilai yang diperoleh disubtitusikan ke persamaan linear.
Interpretasi geometri dari penyelesaian SPLK adalah titik potong yang diperoleh dari garis lurus pada persamaan linear dengan kurva parabola pada persamaan kuadrat. Dengan demikian, banyaknya penyelesaian pada SPLK ditentukan oleh diskriminan (D) dari persamaan kuadrat yang diperoleh pada langkah kedua.
a. | Jika D > 0 maka SPLK memiliki dua penyelesian berbeda (garis lurus memotong kurva parabola di dua titik yang berlainan). |
b. | Jika D = 0 maka SPLK memiliki tepat satu penyelesaian (garis lurus menyinggung kurva parabola). |
c. | Jika D < 0 maka SPLK tidak memiliki penyelesaian (garis lurus tidak memotong ataupun menyinggung kurva parabola). |
Hal ini dapat kalian lihat pada gambar di bawah ini.
Dari gambar di atas, tampak bahwa jika D adalah diskriminan persamaan kuadrat y = px2 + qx + r dan y = ax + b, berlaku sebagai berikut.
1) Kedua grafik berpotongan di titik A dan B (SPLK mempunyai 2 penyelesaian), berarti D > 0.
2) Kedua grafik bersinggungan di titik C (SPLK mempunyai 1 penyelesaian), berarti D = 0.
3) Kedua grafik tidak berpotongan (SPLK tidak mempunyai penyelesaian sama sekali), berati D < 0.
Contoh Soal dan Pembahasan
1. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.
x + y + 2 = 0
y = x2 – x – 2
Penyelesaian:
Persamaan x + y + 2 = 0 dapat kita tuliskan sebagai berikut.
y = −x – 2
Subtitusikan nilai y = −x – 2 ke persamaan y = x2 – x – 2 sehingga diperoleh:
⇒ −x – 2 = x2 – x – 2
⇒ x2 – x + x – 2 + 2 = 0
⇒ x2 = 0
⇒ x = 0
Subtitusikan nilai x = 0 ke persamaan y = −x – 2 sehingga diperoleh:
⇒ y = −(0) – 2
⇒ y = –2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, −2)}. Tafsiran geometrinya berupa titik singgung antara garis lurus dan kurva parabola, yaitu di titik (0, −2) seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut ini.
2. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.
y = x2 – 1
x – y = 3
Penyelesaian:
Persamaan x – y = 3 dapat kita tulis ulang menjadi bentuk berikut.
y = x – 3
Penyelesaian:
Persamaan x – y = 3 dapat kita tulis ulang menjadi bentuk berikut.
y = x – 3
subtitusikan y = x – 3 ke dalam persamaan y = x2 – 1 sehingga kita peroleh:
⇒ x – 3 = x2 – 1
⇒ x – 3 = x2 – 1
⇒ x2 – x – 1 + 3 = 0
⇒ x2 – x + 2 = 0
Persamaan kuadrat di atas sulit untuk difaktorkan. Jika kita hitung nilai diskriminannya dengan nilai a = 1, b = −1, dan c = 2, maka kita peroleh:
D = b2 – 4ac
D = (−1)2 – 4(1)(2)
D = 1 – 8
D = −7
Karena diskriminannya negatif (D < 1) maka persamaan kuadrat itu tidak memiliki penyelesaian. Oleh karena itu, SPLK di atas tidak memiliki penyelesaian sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditulis ∅. Interpretasi geometri dari SPLK ini adalah tidak adanya titik singgung maupun titik potong antara parabola dan garis lurus. Hal ini dapat kalian lihat pada gambar di bawah ini.
Penyelesaian:
Persamaan x – y = 3 dapat kita tulis ulang menjadi bentuk berikut.
y = x – 3
subtitusikan y = x – 3 ke dalam persamaan y = x2 – 1 sehingga kita peroleh:
⇒ x – 3 = x2 – 1
⇒ x – 3 = x2 – 1
⇒ x2 – x – 1 + 3 = 0
⇒ x2 – x + 2 = 0
Persamaan kuadrat di atas sulit untuk difaktorkan. Jika kita hitung nilai diskriminannya dengan nilai a = 1, b = −1, dan c = 2, maka kita peroleh:
D = b2 – 4ac
D = (−1)2 – 4(1)(2)
D = 1 – 8
D = −7
Karena diskriminannya negatif (D < 1) maka persamaan kuadrat itu tidak memiliki penyelesaian. Oleh karena itu, SPLK di atas tidak memiliki penyelesaian sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditulis ∅. Interpretasi geometri dari SPLK ini adalah tidak adanya titik singgung maupun titik potong antara parabola dan garis lurus. Hal ini dapat kalian lihat pada gambar di bawah ini.
Demikianlah materi tentang definisi, jenis, bentuk umum, cara menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat atau SPLK beserta contoh soal dan pembahasannya lengkap. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.
