Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan materi yang menjadi perluasan dari Logika matematika. Logika matematika sendiri mempelajari pernyataan yang bisa bernilai benar atau salah, ekivalen atau ingkaran sebuah pernyataan, dan juga berisi penarikan kesimpulan.

Induksi matematika menjadi sebuah metode pembuktian secara deduktif yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah. Dimana merupakan suatu proses atau aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan berdasarkan pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga pada pernyataan khusus atau tertentu juga bisa berlaku benar. Dalam induksi matematika ini, variabel dari suatu perumusan dibuktikan sebagai anggota dari himpunan bilangan asli.

Induksi matematika merupakan salah satu kegiatan penalaran deduktif yang berkaitan dengan pembuktian matematika. Dalam matematika, induksi matematika merupakan sebuah dasar aksioma bagi beberapa teorema yang melibatkan bilangan asli. pembuktian suatu pernyataan matematis dengan induksi matematika dilakukan pada objek matematika yang bersifat diskrit, misalnya teori bilangan, teori graf dan kombinatorika. Matematikawan menggunakan induksi matematika untuk menjelaskan pernyataan matematika yang telah diketahui kebenarannya.

Apa sih itu induksi matematika?

Seperti yang udah gue singgung di atas, induksi matematika merupakan salah satu cara pembuktian rumus atau pernyataan matematika, atau lebih tepatnya metode pembuktian terhadap suatu pernyataan apakah pernyataan tersebut berlaku untuk setiap kasus. Supaya kebayang, sebaiknya kita langsung ke contoh kasus deh. Kasus yang seperti apa sih yang bisa diselesaikan dengan rumus induksi matematika? Kita masuk ke contoh yang sederhana aja deh ya. Misalkan gue punya deret bilangan seperti di bawah ini.

Langkah awal pembuktian untuk setiap n bilangan asli adalah nilai n tertentu, kita bisa mencari jumlah dari deret bilangan di atas. Sebagai contoh, untuk n=2, kita mendapatkan hasil demikian:

Ternyata untuk n=2, kita mendapatkan bahwa jumlah deretnya adalah 3.

Bagaimana dengan n=5? Gampang, tinggal kita hitung aja lagi begini:

Jumlahnya adalah 15. Kalau untuk n=8 gimana? Sama aja caranya:

Kita dapatkan bahwa untuk n=8, jumlah deret tersebut adalah 40.

Kemudian sudah mendapatkan informasi bahwa ternyata untuk menghitung jumlah deret tersebut untuk n bilangan asli berapapun, SUDAH ADA RUMUSNYA. Jadi, nggak perlu repot-repot menjumlahkan satu per satu seperti di atas, tapi tinggal kita masukkan saja nilai n ke dalam rumus tersebut. Bagaimana tuh rumusnya? Untuk deret di atas, rumus jumlahnya adalah demikian:

Wah, asik nih udah ada rumusnya. Berarti tinggal kita masukkin aja nilai n ke persamaan di atas untuk mencari jumlah deret tersebut. Nggak perlu jumlahin satu per satu. Nah, tapi sebagai matematikawan yang baik, kita harus skeptis nih, tahu dari mana bahwa rumus di atas itu benar? Tahu dari mana bahwa rumus tersebut berlaku untuk seluruh nilai n bilangan asli? Atau sederhananya

Gimana Buktiinnya?

Yup. Gimana buktiinnya kalo rumus Sn di atas udah bener?

Nah, sebelum masuk ke pembuktian dengan Induksi Matematika, coba deh kita tes dulu apakah nilai Sn itu benar untuk nilai-nilai n yang sebelumnya udah kita hitung. Kita mulai dari n=2.

Wah, ternyata benar nih. Hasilnya sama untuk n=2. Sekarang coba kita tes untuk n=5.

Hasilnya sama lagi nih. Untuk n=8 gimana?

Bener lagi! Okay, kalau gitu, bisa kita simpulkan bahwa rumus Sn ini benar lah ya? Eit, tunggu dulu. Kita baru menguji untuk tiga nilai n. Dalam matematika, kita tidak bisa melakukan generalisasi seperti itu. Untuk bisa membuktikan bahwa rumus Sn ini benar untuk semua kasus, kita harus benar-benar bisa membuktikan bahwa rumus Sn ini benar untuk SEMUA nilai n bilangan asli.

Wah, kalau mau membuktikan untuk semua nilai n, kapan selesainya? Kan ada banyak banget yang harus dicoba. Nilai n=9, nilai n=10, nilai n=100, nilai n=84349384, dan seterusnya. Ada tak hingga nilai n yang harus kita coba. Nggak mungkin bisa kita cobain semuanya.

Nah, itulah sebabnya kita perlu membuktikannya dengan menggunakan Induksi Matematika.

Setelah elo baca penjabaran di atas, dapat disimpulkan bahwa ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan sebuah rumus, yaitu:

1. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
2. Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k.
3. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

Untuk menerapkan induksi matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P (k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk menyatakan persamaan P (k + 1), substitusikan kuantitas k + 1  ke dalam pernyataan P(k).

Konsep Dasar Induksi Matematika

Dengan menggunakan Induksi Matematika, kita bisa membuktikan rumus Sn di atas tanpa perlu menghitung satu per satu nilai Sn seperti di atas. Caranya simple banget. Kita cuma butuh melakukan dua langkah berikut ini:

1. Buktikan bahwa rumus tersebut benar untuk nilai n dasar (pada contoh di atas, buktikan untuk n=1).
2. Buktikan bahwa jika rumus tersebut benar untuk n=k, maka rumus tersebut juga benar untuk n=k+1.

Okay, sampai di sini, coba elo STOP BACA dulu untuk mikir, emangnya kenapa dua langkah tersebut bisa membuktikan Sn benar untuk SEMUA nilai n bilangan asli?

Hayo dipikir dulu…

LANGKAH 1: Buktikan bahwa Sn benar untuk n=1.

Langkah pertama ini gampang banget. Tinggal kita masukkan nilai n=1 ke persamaan, terus kita hitung deretnya, beres. Kesimpulannya: S1 benar (Sn benar untuk n=1). Lanjut ke langkah 2.

LANGKAH 2: Buktikan bahwa jika benar untuk n=k, maka dia benar juga untuk n=k+1.

Ini bagian menariknya. Karena pada langkah pertama kita sudah membuktikan bahwa Sn benar untuk n=1, berarti dia benar juga untuk n=2. Kalau Sn benar untuk n=2, maka Sn benar juga untuk n=3. Kalau Sn benar untuk n=3, maka Sn benar juga untuk n=4. Dan seterusnya sampai n tak hingga.

Kalau penjelasan di atas masih kurang jelas, coba telaah pelan-pelan deh ya. Jadi bayangkan bahwa pembuktian yang kita lakukan di langkah 1 dan 2 tadi kita nyatakan dalam dua premis, premis 1 untuk pernyataan pada langkah 2 dan premis 2 untuk pernyataan pada langkah 1. Jadinya begini:

Premis 1: Jika Sn benar untuk n=k, maka Sn benar untuk n=k+1

Premis 2: Sn benar untuk n=1

Kesimpulan: ?

Nah, kalau kita memiliki dua premis seperti itu, apa kesimpulan yang dapat diambil? Berhubung nilai k=1, berarti k+1 itu adalah 2 dong ya? Berarti kesimpulan dari pembuktian induksi matematika adalah Sn benar untuk n=2. Sekarang kita lanjutkan lagi dengan kesimpulan barusan kita masukkan ke dalam premis 2.

Premis 1: Jika Sn benar untuk n=k, maka Sn benar untuk n=k+1

Premis 2: Sn benar untuk n=2

Kesimpulan: ?

Kesimpulannya adalah? Gampang ya, yaitu Sn benar untuk n=3. Ini masih bisa kita lanjutkan lagi dengan teknik yang sama. Kesimpulan ini kita jadikan premis 2.

Premis 1: Jika Sn benar untuk n=k, maka Sn benar untuk n=k+1

Premis 2: Sn benar untuk n=3

Kesimpulan: ?

Apa kesimpulan dari kedua premis di atas? Yup, kesimpulannya adalah, Sn benar untuk n=4. Elo bisa lanjutkan proses ini sampai seterusnya kalau mau. Tapi pada suatu titik kita harus berhenti melakukan ini dan mulai berpikir lagi.

Jadi, kalau proses ini kita lanjutkan, kita akan mendapatkan kesimpulan bahwa Sn benar untuk semua n bilangan asli.

Pembuktian dengan Induksi Matematika

Nah, di atas kita udah mempelajari konsep dasar dari Induksi Matematika ya. Sekarang, kita lanjut ke proses pembuktian dengan Induksi Matematikanya. Kita balik lagi ke contoh di atas, yaitu deret ini:

Deret ini memiliki Un = n dan Sn = n(n+1)/2. Coba kita buktikan dengan Induksi Matematika bahwa rumus Sn ini benar.

LANGKAH 1: Buktikan bahwa Sn benar untuk n=1.

Bagian ini gampang nih. Kita tahu bahwa untuk n=1, jumlahnya harus sama dengan 1. Berarti kalau S1 itu sama dengan 1, langkah satu beres.

Sip. Rumus Sn ini lolos pada langkah satu. Berikutnya, langkah 2.

LANGKAH 2: Buktikan bahwa jika Sn benar untuk n=k, maka Sn juga benar untuk n=k+1.

Nah, untuk bagian ini, teknik membuktikannya adalah dengan membuktikan bahwa persamaan di bawah ini benar.

Kalau persamaan di atas benar, itu sama saja dengan membuktikan bahwa jika Sk benar, maka Sk+1 juga benar.

So, kalau kita masukkan n=k dan n=k+1 pada rumus Sn, maka kita akan mendapatkan:

Kalau begitu, tinggal kita buktikan saja dengan cara demikian:

Bagian (k+1)-nya kita kotakin kemudian kita keluarkan (hukum distributif)

Sehingga kita dapatkan:

Ternyata hasilnya sama peris dengan Sk+1 yang kita hitung pada tabel di atas. Berarti kita dapat simpulkan bahwa persamaan berikut ini:

Adalah benar!

Karena Sn terbukti benar pada langkah 1 dan juga terbukti benar pada langkah 2, maka kita bisa simpulkan bahwa rumus Sn benar untuk semua n bilangan asli

Contoh Soal Induksi Matematika Deret #1

Silakan kalian buktikan 2 + 4 + 6 + 8 + 10 +… + 2n = n(n + 1), jika untuk seluruh n merupakan bilangan asli.

Jawaban :

P(n) : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 2n = n(n + 1), hal tersebut bisa kita mulai buktikan dengan P(n) dinyatakan benar jika untuk seluruh n ∈ N.

• Langkah pertama yaitu menunjukan jika P(1) benar. 2 = 1(1 + 1), hingga kemudian kita dapatkan jika P(1) benar.
• Langkah induksi yaitu mengibaratkan jika P(k) dapat dinyatakan benar, 2 + 4 + 6 + 8 + 10 +… + 2k = k(k + 1), apabila seluruh k ∈ N. Sehingga hal tersebut dapat menunjukan jika P(k + 1) juga bisa dinyatakan benar sehingga menghasilkan 2 + 4 + 6 + 8 + 10 +… + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1) dari asumsi tersebut maka dapat menghasilkan lagi 2 + 4 + 6 + 8 + 10 +… + 2k = k(k + 1).

Kemudian selanjutnya kamu bisa melakukan penambahan di kedua ruas dengan uk+1, seperti pada contoh berikut di bawah ini :
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Dengan begitu bisa disimpulkan jika P(k + 1) dapat dinyatakan benar, dimana P(n) merupakan benar untuk seluruh n bilangan asli.

Contoh Soal Induksi Matematika Deret #2

Silakan kalian buktikan 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +… + (2n − 1) = n2 , jika untuk seluruh n merupakan bilangan asli.

Pembahasan :

P(n) : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +… + (2n − 1) = n², hal tersebut bisa kita mulai buktikan dengan P(n) dinyatakan benar jika untuk seluruh n ∈ N.

• Langkah pertama yaitu menunjukan jika P(1) benar. 1 = 1², hingga kemudian kita dapatkan jika P(1) benar.
• Langkah induksi yaitu mengibaratkan jika P(k) dapat dinyatakan benar, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +… + (2k − 1) = k², k ∈ N, apabila seluruh k ∈ N. Sehingga hal tersebut dapat menunjukan jika P(k + 1) juga bisa dinyatakan benar sehingga menghasilkan 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +… + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2² dari asumsi tersebut maka dapat menghasilkan lagi 1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k².

Kemudian selanjutnya kamu bisa melakukan penambahan di kedua ruas dengan uk+1, seperti pada contoh berikut di bawah ini :
1 + 3 + 5 + 7 + 9 +… + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k² + (2(k + 1) − 1)
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k² + 2k + 1
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)²

Dengan begitu bisa disimpulkan jika P(k + 1) dapat dinyatakan benar, dimana P(n) merupakan benar untuk seluruh n bilangan asli

Materi Matematika Kelas 11 Bab 2 Program Linear

Apakah kamu sudah siap? Oh iya, jangan lupa untuk menyiapkan buku ajar keluaran Kemdikbud dan juga catat materi yang menurutmu penting ya! So, langsung simak rangkuman di bawah guys!

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Konsep persamaan dan sistem persamaan linear dua variabel sudah kamu pelajari. Prinsip yang ada pada sistem persamaan juga kita gunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan atau sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

Prinsip yang dimaksud adalah menentukan nilai variabel yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear tersebut.

Definisi

Pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan yang berbentuk

ax + by + c < 0

ax + by + c ≤ 0

ax + by + c > 0

ax + by + c ≥ 0

dengan:

a, b : koefisien (a ≠ 0, b ≠ 0, a,b ∈ R)

c : konstanta (c ∈ R)

x, y : variabel (x, y ∈ R)

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dan gambarkan grafik untuk setiap pertidaksamaan di bawah ini.

 –2x + y > 5, untuk x dan y semua bilangan real

Alternatif Penyelesaian

Dengan menguji nilai-nilai x dan y yang memenuhi – 2x + y > 5 , maka dapat ditemukan banyak pasangan x dan y yang memenuhi pertidaksamaan.

Ilustrasi himpunan penyelesaian, jika dikaji secara geometris disajikan pada gambar berikut.

Dari gambar diperoleh bahwa terdapat titik yang tak hingga banyaknya (daerah yang tidak diarsir) yang memenuhi –2x + y > 5.

Kali ini, melalui grafik, kita dapat memilih sembarang titik, misalnya titik (–5, 0), sedemikian sehingga –2(–5) + 0 = 10 > 5 adalah pernyataan benar.

Program Linear

Definisi

Masalah program linear dua variabel adalah menentukan nilai x₁, x₂ yang memaksimumkan (atau meminimumkan) fungsi tujuan,

Z(x₁, x2) = C₁x₁ + C₂x₂

dengan kendala:

Contoh

Gambarkan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut ini.

Alternatif Penyelesaian:

Untuk menggambarkan daerah penyelesaian setiap pertidaksamaan pada sistem di atas, dapat dimulai dengan menggambar satu per satu pertidaksamaan yang diketahui. Tentu, semua daerah penyelesaian tersebut nanti harus disajikan dalam satu bidang koordinat kartesius.

a. Daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan (a) di atas, adalah sebagai berikut

b. Daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan (b) di atas, adalah sebagai berikut:

Jadi, tidak ada nilai x dan y yang memenuhi sistem pertidaksamaan b). Hal ini, perlu dicatat, bahwa tidak semua masalah memiliki penyelesaian.

Langkah-Langkah Program Linear

Berikut merupakan langkah-langkah dalam melakukan optimasi menggunakan teknik program linear.

1. Tentukan variabel-variabel kendalanya.
2. Tentukan fungsi tujuan.
3. Susun model dari variabel-variabel kendala.
4. Gambarkan grafik dari model yang telah dibuat.
5. Tentukan titik-titik potong dari grafik.
6. Tentukan daerah penyelesaian yang sesuai.
7. Hitung nilai optimum dari fungsi tujuan.

Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh soal program linear. Baca juga Fungsi komposisi

Contoh Soal Program Linear

1. Ada seorang pedagang buah naga sedang memanen hasil kebunnya. Dia menyewa 30 kendaraan jenis truk dan colt dengan total muatan sebanyak 300 karung. Setiap truk hanya mampu menampung 15 karung dan colt hanya mampu mengangkut 10 karung. Tentukanlah bentuk model matematikanya.

Pembahasan

Dalam mengerjakan soal cerita seperti ini, Kita dapat melakukan pemisalan pada truk dan colt. Kita anggap truk sebagai fungsi x dan colt sebagai fungsi y. Selain itu, banyak karung yang di tampung adalah 300 karung dengan masing-masing per truk mampu menampung 15 karung dan colt 10 karung. Sehingga kita bisa menuliskan model matematikanya seperti di bawah ini.

Fungsi banyak karung = 15x + 10y = 300

Fungsi banyak karung = 3x + 2y = 60

Fungsi kuantitas = x + y = 30

Sehingga model matematika soal tersebut adalah F(kuantitas): x + y = 30 dan F(banyak karung): 3x + 2y = 60.

2. Lendra sedang berbelanja ke pasar. Dia membeli beberapa buah rambutan dan pepaya. Jumlah yang dibeli paling sedikit 20 buah di mana buah rambutan maksimal sebanyak 12 buah. Harga rambutan per buah adalah 5 ribu dan pepaya adalah 2 ribu. Ia memiliki uang 40 ribu. Jika Lendra membeli a rambutan dan b pepaya, tentukan bentuk model matematikanya

Pembahasan

Seperti soal sebelumnya, kita melakukan pemisalan untuk pembelian dan jumlah buah di mana rambutan sebagai fungsi x dan pepaya sebagai fungsi y.

Fungsi pembelian: 5000x + 2000y = 40000

Fungsi pembelian: 5x + 2y = 40

Fungsi jumlah buah: x + y ≥ 20

Fungsi maksimal rambutan: x ≤ 12

Ini bentuk model matematika untuk semua informasi dalam soal tersebut.

3. Diketahui sebuah persamaan x + y = 10 dan diberikan sebuah fungsi seperti di bawah ini

{(x,y)| x ≥ 0; y ≥ 0; 2x + 3y ≤ 8; 3x + 2y ≤ a}

Tentukan nilai a pada fungsi di atas sehingga nilai maksimum x + y = 10

Pembahasan

Pertama, kita harus menuliskan semua fungsi yang ada secara benar seperti contoh di bawah ini.

x ≥ 0

y ≥ 0

2x + 3y ≤ 8

3x + 2y ≤ a

Kemudian, lakukan penjumlahan dari dua fungsi di atas.

2x + 3y ≤ 8

3x + 2y ≤ a    +

5x + 5y ≤ 8 + a

5 (x + y) ≤ 8 + a

5 (10) ≤ 8 + a

50 – 8 ≤ a

42 ≤ a

Sehingga, nilai a ≥ 42 untuk mendapatkan nilai maksimum x + y = 10.

4. Punto merupakan seorang pedagang memiliki modal Rp. 1.000.000 untuk membeli anggur dan ketan beras. Harga beli tiap kg anggur adalah Rp. 4000 dan ketan besar adalah Rp. 1600. Gudang Punto hanya bisa menampung 400 kg. Tentukan jumlah anggur dan ketan beras maksimum.

Pembahasan

Seperti soal-soal sebelumnya, kita dapat melakukan pemisalan pada soal tersebut di mana anggur sebagai fungsi x dan ketan besar sebagai fungsi y. Maka, kita bisa menulis bentuk pertidaksamaannya sebagai berikut.

Fungsi kapasitas: x + y ≤ 400

Fungsi modal: 4000x + 1600y ≤ 1.000.000 disederhanakan menjadi 5x + 2y ≤ 1250

x ≤ 0 ; y ≤ 0

Dari persamaan tersebut, kita dapat membentuk sebuah diagram sesuai dengan nilai maksimum pada tiap persamaan. Kita bisa memasukkan nilai 0 dan 400 dalam tiap persamaan sehingga bisa diketahui titik ekstremnya.

• Titik 1 (0,400) merupakan titik ekstrem namun tidak terdapat fungsi anggur
• Titik 3 (400,0) merupakan titik ekstrem namun tidak terdapat fungsi beras ketan
• Titik 2 ( xb, yb ) menggunakan eliminasi kedua fungsi di atas.

5x + 2y ≤ 1250

x + y ≤ 400 |x2   –

5x + 2y ≤ 1250

2x + 2y ≤ 800    –

3x ≤ 450

Sehingga nilai x adalah 150. Total anggur dan beras ketan adalah 400, sedangkan jumlah angggur adalah 150, maka jumlah beras ketan adalah 250.

5. Jika diberikan sebuah fungsi f(x,y) = 4x + 5y pada grafik di bawah ini. Tentukan garis maksimum fungsi tersebut

Pembahasan

Pertama, kita harus melihat titik-titik ekstrem pada gambar di atas. Sehingga di temukan titik ekstremnya adalah B(3,6), C(8,2), dan D(8,0).

Kemudian, kita masukkan titik ekstrem ini ke dalam persamaan f(x,y) = 4x + 5y.

Nilai terbesar merupakan titik maksimumnya. Berdasarkan perhitungan, titik maksimum melintasi garis BC. Sehingga bisa disimpulkan bahwa BC adalah garis maksimum.

Mengenal Matriks: Pengertian, Jenis, dan Transpose | Matematika Kelas 11

Kamu tahu apa itu matriks? Kali ini, kita akan mengupas konsep matriks meliputi pengertian, jenis-jenis, serta transpose matriks. Simak baik-baik, ya!

Pengertian Matriks

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun berdasarkan baris dan kolom, serta ditempatkan di dalam tanda kurung. Nah, tanda kurungnya ini bisa berupa kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”, ya. Suatu matriks diberi nama dengan huruf kapital, seperti A, B, C, dan seterusnya. 

Ordo dan Elemen Matriks

Matriks itu punya ukuran, guys. Ukuran matriks disebut ordo. Ordo matriks ini berdasarkan dari banyaknya baris dikali banyaknya kolom pada matriks. Jadi, kalo suatu matriks A memiliki m baris dan n kolom, maka matriks A tersebut berukuran (berordo) m x n. Supaya lebih sederhana, kita bisa menulisnya dengan A_mxn.  

Nah, masing-masing bilangan yang terdapat di dalam matriks disebut elemen matriks. Elemen-elemen matriks juga ada notasinya sendiri, lho. Kalo matriks dinotasikan dengan huruf kapital, maka elemen-elemen matriks dinotasikan dengan huruf kecil dan diberi indeks yang menyatakan letak baris dan kolomnya.

Misalnya nih, pada matriks A di atas, jumlah barisnya kan ada 5 dan jumlah kolomnya juga ada 5, maka ordonya adalah 5 x 5, atau bisa kita tulis A_5x5. Lalu, untuk elemen-elemen matriks A bisa dinotasikan dengan a_ij, yang menyatakan elemen matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j.

Supaya kamu nggak bingung, langsung simak contoh di bawah ini aja, yuk!

Kita ambil contoh a₁₁, a₁₂, dan a₅₄, seperti pada gambar. 

• a₁₁ menyatakan elemen matriks A pada baris ke-1 kolom ke-1, nilainya adalah 0. 
• a₁₂ menyatakan elemen matriks A pada baris ke-1 kolom ke-2, nilainya adalah 1. 
• a₅₄ menyatakan elemen matriks A pada baris ke-5 kolom ke-4, nilainya adalah 2.

Gimana, paham kan cara bacanya?

Jenis-Jenis Matriks

Jenis matriks berdasarkan ordo

1. Matriks persegi

Matriks berordo  atau banyaknya baris = kolom (disebut juga matriks berordo ).

Contoh:

 

2. Matriks baris

Matriks berordo  atau hanya memiliki satu baris.

Contoh:

 

3. Matriks kolom

Matriks yang hanya memiliki satu kolom.

Contoh:

4. Matriks tegak

Matriks berordo  dengan 

Contoh:

 

5. Matriks datar

Matriks berordo  dengan 

Contoh:

 Jenis matriks berdasarkan anggota penyusunnya

1. Matriks nol

Matriks yang semua elemen penyusunnya adalah nol.

Contoh:

 

2. Matriks diagonal

Matriks persegi yang semua elemen di atas dan di bawahnya diagonal adalah nol.

Contoh:

 

3. Matriks skalar

Matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama.

Contoh:

 

4. Matriks simetri

Matriks persegi, yang setiap elemennya, selain elemen diagonal, adalah simetri terhadap diagonal utama.

Contoh:

 

5. Matriks simetri miring

Matriks simetri yang elemen-elemennya, selain elemen diagonal, saling berlawanan.

Contoh:

 

6. Matriks identitas

Matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya adalah 1.

Contoh:

7. Matriks segitiga atas

Matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol.

Contoh:

 

8. Matriks segitiga bawah

Matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya adalah nol.

Contoh:

 

9. Matriks transpose

Matriks yang diperoleh dari memindahkan elemen-elemen baris menjadi elemen pada kolom atau sebaliknya.

Notasi transpose untuk matriks  dinotasikan dengan 

Contoh:

                   à          

Ordo dari transpose matriks  adalah 2 x 3. dan ditulis . 

Contoh masalah kontekstual yang berhubungan dengan determinan dan invers matriks diantaranya 

1. Menentukan komposisi jumlah produk di suatu perusahaan yang dapat memberikan keuntungan maksimum.
2. Menentukan banyaknya barang yang akan dikirimkan dari sejumlah pabrik ke sejumlah gudang yang dapat memberikan biaya pengiriman yang sekecil-kecilnya.
3. Menentukan penjadwalan beberapa pekerjaan kepada beberapa karyawan / kelompok karyawan.

Dan masih banyak lagi.

Daftar Pustaka:

https://www.ruangguru.com/blog/mengenal-matriks-dalam-matematika-pengertian-jenis-dan-transpose

https://fti.ars.ac.id/blog/content/matriks--jenis-jenis-matriks

Determinan Matriks

Determinan suatu matriks didefinisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder.  Determinan matriks hanya dapat ditentukan pada matriks persegi. Determinan dari matriks A dapat dituliskan det(A) atau |A|.

Untuk menentukan determinan dari sebuah matriks, terdapat dua aturan berdasarkan ordonya, yaitu ordo 2x2 dan ordo 3x3.

Determinan  Matriks Ordo 2x2

Determinan matriks persegi dengan ordo 2x2 dapat dihitung dengan cara berikut:

Determinan  Matriks Ordo 3x3

Determinan matriks persegi dengan ordo 3x3 dapat dihitung dengan menggunakan dua cara, yaitu kaidah Sarrus dan ekspansi kofaktor. Namun, cara yang paling sering digunakan dalam menentukan determinan matriks ordo 3x3 adalah dengan kaidah Sarrus.

Langkah-langkah mencari determinan matriks ordo 3x3 dengan kaidah Sarrus:

1. Meletakkan kolom pertama dan kolom kedua di sebelah kanan garis vertikal determinan.
2. Jumlahkan hasil kali elemen-elemen yang terletak pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen yang sejajar diagonal utama pada arah kanan kemudian kurangi dengan jumlah hasil kali elemen-elemen yang terletak pada diagonal samping dengan elemen-elemen yang sejajar dengan diagonal samping.

|A| = (a.e.i) + (b.f.g) +( c.d.h) – (c.e.g) – (a.f.h) – (b.d.i)

|A| = (a.e.i + b.f.g + c.d.h) – (c.e.g + a.f.h + b.d.i)

 

Invers Matriks

Invers matriks adalah kebalikan (invers) dari sebuah matriks yang apabila matriks tersebut dikalikan dengan inversnya, akan menjadi matriks identitas. Invers matriks dilambangkan dengan A-1. Suatu matriks dikatakan memiliki invers jika determinan dari matriks tersebut tidak sama dengan nol.

Untuk menentukan invers dari sebuah matriks, terdapat dua aturan berdasarkan ordonya, yaitu ordo 2x2 dan ordo 3x3.

Invers  Matriks Ordo 2x2

Invers matriks persegi dengan ordo 2x2 dapat dicari dengan cara sebagai berikut:

Invers  Matriks Ordo 3x3

Untuk mencari invers matriks pada ordo 3x3, dapat digunakan metode eliminasi Gauss Jordan.

Secara sistematis, eliminasi Gauss Jordan dapat dinyatakan sebagai berikut:

Matriks persegi A dieliminasi menggunakan operasi aljabar sampai membentuk matriks identitas. Operasi yang dilakukan pada matriks A juga dilakukan pada matriks identitas sehingga jika matriks A sudah menjadi matriks identitas, maka matriks identitas akan berubah menjadi invers dari matriks A.

Daftar Pustaka

https://akupintar.id/info-pintar/-/blogs/matriks-pengertian-operasi-determinan-invers-dan-contoh-soal

Transformasi geometri: Translasi, Rotasi, Refleksi, dan Dilatasi

Transformasi geometri ini merupakan salah satu materi dari mata pelajaran matematika. Umumnya materi geometri ditemui oleh siswa pada kelas 9 SMP sampai SMA kelas 11.

Transformasi Geometri ini pada dasarnya materi yang membahas terkait perubahan dari suatu bidang. Terjadinya transformasi geometri ini sebenarnya terjadi dalam kehidupan kita sehari-hari. Dalam matematika biasanya digambarkan lewat sebuah titik titik tertentu.

Untuk memahami materi transformasi geometri, artikel ini akan menjelaskan mengenai materi transformasi geometri beserta jenis, rumus, dan contohnya.

Pengertian Transformasi Geometri

Sebelum mengetahui pengertian dari transformasi geometri. Kita jabarkan lebih dulu apa itu arti transformasi dan apa itu geometri. Transformasi berarti perubahan sebuah struktur menjadi bertambah, berkurang atau tertata kembali unsurnya. Sedangkan geometri berarti cabang matematika yang menjelaskan soal sifat garis, sudut, bidang, dan ruang.

Berdasarkan dua definisi tersebut transformasi geometri dapat disimpulkan sebagai perubahan bentuk dari sebuah garis, sudut, ruang, dan bidang.

Dalam kehidupan sehari-hari, transformasi geometri ini biasanya dimanfaatkan untuk pembuatan karya-karya seni dan desain arsitektur.

Jenis-jenis Transformasi Geometri

Transformasi geometri itu sendiri terdiri dari empat jenis, yaitu translasi, rotasi, refleks, dan dilatasi.

Berikut adalah pemaparan lengkap masing-masing jenis transformasi geometri:

1. Translasi (Pergeseran)

Translasi atau pergeseran merupakan jenis dari transformasi geometri di mana terjadi perpindahan atau pergeseran dari suatu titik ke arah tertentu di dalam sebuah garis lurus bidang datar. Akibatnya, setiap bidang yang ada di garis lurus tersebut juga akan digeser dengan arah dan jarak tertentu.

Translasi pada dasarnya hanya mengubah posisi, bukan bentuk dan ukuran dari bidangnya.

Contoh sederhana dari translasi adalah peristiwa yang terjadi di perosotan. Dimana orang yang sama dengan sebuah bidang berpindah posisi dari titik awal (awal perosotan) dan titik akhir (ujung perosotan). Contoh lainnya adalah kendaraan yang berjalan di jalan lurus, dari kejadian itu bisa dilihat bahwa kendaraan yang merupakan objek tidak mengalami perubahan ukuran tetapi hanya berpindah tempat.

Rumus dari translasi itu sendiri adalah:

(x’,y’) = (a,b) + (x,y)

Keterangan:

x’, y’ = titik bayangan

x,y = titik asal

a,b = vektor translasi

Contoh soal transformasi geometri jenis translasi

Tentukan titik bayangan jika titik A adalah (2, 4) dan ditranslasikan menjadi (6, 3)

Jawab:

(x’, y’) = (x +a, y+b)

(x’, y’) = (2+6, 4+3)

(x’, y’) = (8, 7)

Maka titik bayangannya ada di (8, 7)

2. Rotasi (Perputaran)

Rotasi atau juga dikenal dengan perputaran dalam transformasi geometri sesuai dengan namanya berarti sebuah perputaran yang ditentukan oleh titik pusat rotasi, arah rotasi, dan juga besar dari sudut rotasi. Prinsipnya adalah memutar terhadap sudut dan titik pusat yang memiliki jarak yang sama dengan titik yang diputar.

Karena hanya berputar, maka transformasi ini tidak mengubah bentuk atau ukuran dari sebuah bidang.

Contoh sederhananya adalah cara kerja dari bianglala di mana lingkaran memutari titik tengah. Contoh lainnya adalah dalam gangsing. Cara kerja gangsing nyaris sama dengan bianglala karena berputar mengitari titik tengah.

Ada beberapa Rumus dari rotasi, yaitu:

• Rotasi 90 derajat dengan pusat (a, b): (x,y) maka (-y + a + b, x – a + b)
• Rotasi 180 derajat dengan pusat (a,b) : (x,y) maka (-x -2a, -y +2b)
• Rotasi sebesar -90 derajat dengan pusat (a, b) : (x, y) maka (y – b + a, -x + a + b)
• Rotasi sebesar 90 derajat dengan pusat (0, 0) : (x, y) maka (-y,x)
• Rotasi 180 derajat dengan pusat (0,0) : (x, y) maka (-x, -y)
• Rotasi sebesar -90 derajat dengan pusat (0,0) : (x, y) maka (y, -x)

Contoh soal transformasi geometri jenis rotasi

Sebuah titik A (3,2) dirotasikan terhadap titik O (0,0) sejauh 90 derajat searah dengan jarum jam. Tentukanlah bayangan dari titik A.

Jawab:

(x’, y’) = (cos90o sin 90o, –sin 90o cos 90o) (3,2)

(x’, y’) = (0 1 , -1 0) (3,2)

(x’, y’) = (-2,3)

 

3. Refleksi (Pencerminan)

Refleksi atau pencerminan dalam transformasi geometri berarti perubahan dengan memindahkan titik dengan sifat dari suatu cermin datar. Ada dua sifat yang dimiliki dalam transformasi refleksi. Pertama adalah jarak titik ke cermin sama dengan jarak bayangan titik ke cermin. Kedua adalah geometri yang dicerminkan saling berhadapan satu sama lain.

Contoh sederhana dari refleksi ini tentunya adalah ketika kita sedang bercermin.

Rumus umum dari refleksi antara lain:

• Refleksi terhadap sumbu -x : (x,y) maka (x, -y)
• Refleksi terhadap sumbu -y : (x,y) maka (-x, y)
• Refleksi terhadap garis y = x : (x, y) maka (y, x)
• Refleksi terhadap garis y = -x : (x, y) maka (-y, -x)
• Refleksi terhadap garis x = h : (x, y) maka (2h, -x,y)
• Refleksi terhadap garis y = K : (x. y) maka (x, 2k – y)

Contoh soal transformasi geometri jenis refleksi

Tentukanlah koordinat bayangan dari titik A jika Titik A (4, -2) dicerminkan terhadap sumbu x.

Jawab:

A : (a,b) maka A’ (a, -b)

Maka:

A (4, -2) maka A’ (-4, -2)

4. Dilatasi (Perkalian)

Dilatasi merupakan transformasi atau perubahan ukuran dari sebuah objek. Dalam dilatasi terdapat dua konsep, yaitu titik dan faktor dari dilatasi.

Titik dari dilatasi menentukan posisi dari dilatasi. Titik ini menjadi tempat pertemuan dari semua garis lurus yang menghubungkan antara titik dalam suatu bangunan ke titik hasil dilatasi.

Sedangkan faktor dilatasi adalah faktor perkalian dari suatu bangun yang sudah didilatasikan.

Contoh sederhana dari dilatasi adalah miniatur. Miniatur biasanya dalam bentuk mainan, seperti mobil-mobilan. Mainan merupakan pengecilan dari sebuah objek besar. Contoh lainnya adalah ketika kita mencetak sebuah foto. Foto tersebut bisa dicetak dengan ukuran-ukuran tertentu tetapi tidak mengubah bentuk dari foto tersebut, mulai dari 2×3, 3×4, sampai 4×6 fotonya tetap sama, hanya ukurannya yang berbeda.

Rumus umum dari dilatasi antara lain:

• Dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor skala k : (x, y) maka (kx, ky)
• Dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor skala k : (x, y) maka (kx = k(x-a) + a, (k(y-b) + b))

Contoh soal transformasi geometri jenis dilatasi

Titik A (2,4) akan didilatasikan sebesar tiga kali, dengan pusat yang berada di (-4,2), maka tentukanlah titik A

Jawab:

(x, y) = k(x-a) + a, K(y – b) + b

(2, 4) = 6(2 – (-4)) + (-4), 6(4 – 2) + 2

(2, 4) = (32, 14)

Maka letak titik A dari (2, 4) dengan dilatasi (-4,2) adalah (32, 14)

Demikian adalah pembahasan mengenai materi transformasi geometri beserta jenisnya.

Daftar Pustaka =

https://www.sampoernaacademy.sch.id/id/transformasi-geometri/

Semoga mudah dipahami dan mudah dimengerti. Mohon maaf jika terdapat kesalahan kata-kata diatas. 

Wassalamualaikum wr.wb