Selasa, 14 Desember 2021

SPLK

Sistem persamaan:

y = 2 – x

y = x2 – 3x + 2

merupakan contoh sistem persamaan linear dan kuadrat. Dengan demikian, dapat kita simpulkan definisi dari sistem persamaan linier dan kuadrat (SPLK) adalah sebagai berikut.

Sistem persamaan linear dan kuadrat atau disingkat SPLK adalah sistem persamaan yang terdiri atas sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang masing-masing bervariabel dua.

Jenis SPLK dan Bentuk Umumnya

Berdasarkan karakteristik dan bagian bentuk kuadratnya, sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu sebagai berikut.

1. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit

Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk eksplisit jika persamaan itu dapat diubah menjadi bentuk y = f(x) atau x = f(y). Oleh karena itu, SPLK eksplisit ini memiliki bentuk umum sebagai berikut.

y = ax + b ……………………. (bagian linear)

y = px2 + qx + r ……………. (bagian kuadrat)

2. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit

Persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk implisit jika persamaan itu mempunyai bentuk umum sebagai berikut.

ax + by + c = 0 ………………………………. (bagian linear)

px2 + qy2 + rxy + sx + ty + u = 0……. (bagian kuadrat)

Cara Menentukan Penyelesaian SPLK

Secara umum, untuk menyelesaikan SPLK, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

Langkah 1: Pada bagian persamaan linear, nyatakan x dalam y atau y dalam x.

Langkah 2: Subtitusikan x atau y yang diperoleh dari langkah pertama ke bagian bentuk kuadrat sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.

Langkah 3: Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh dari langkah dua, kemudian nilai-nilai yang diperoleh disubtitusikan ke persamaan linear.

Interpretasi geometri dari penyelesaian SPLK adalah titik potong yang diperoleh dari garis lurus pada persamaan linear dengan kurva parabola pada persamaan kuadrat. Dengan demikian, banyaknya penyelesaian pada SPLK ditentukan oleh diskriminan (D) dari persamaan kuadrat yang diperoleh pada langkah kedua.

a.	Jika D > 0 maka SPLK memiliki dua penyelesian berbeda (garis lurus memotong kurva parabola di dua titik yang berlainan).
b.	Jika D = 0 maka SPLK memiliki tepat satu penyelesaian (garis lurus menyinggung kurva parabola).
c.	Jika D < 0 maka SPLK tidak memiliki penyelesaian (garis lurus tidak memotong ataupun menyinggung kurva parabola).

Hal ini dapat kalian lihat pada gambar di bawah ini.

grafik jumlah penyelesaian SPLK menggunakan nilai diskriminan

Dari gambar di atas, tampak bahwa jika D adalah diskriminan persamaan kuadrat y = px2 + qx + r dan y = ax + b, berlaku sebagai berikut.

1) Kedua grafik berpotongan di titik A dan B (SPLK mempunyai 2 penyelesaian), berarti D > 0.

2) Kedua grafik bersinggungan di titik C (SPLK mempunyai 1 penyelesaian), berarti D = 0.

3) Kedua grafik tidak berpotongan (SPLK tidak mempunyai penyelesaian sama sekali), berati D < 0.

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.

x + y + 2 = 0

y = x2 – x – 2

Penyelesaian:

Persamaan x + y + 2 = 0 dapat kita tuliskan sebagai berikut.

y = −x – 2

Subtitusikan nilai y = −x – 2 ke persamaan y = x2 – x – 2 sehingga diperoleh:

⇒ −x – 2 = x2 – x – 2

⇒ x2 – x + x – 2 + 2 = 0

⇒ x2 = 0

⇒ x = 0

Subtitusikan nilai x = 0 ke persamaan y = −x – 2 sehingga diperoleh:

⇒ y = −(0) – 2

⇒ y = –2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, −2)}. Tafsiran geometrinya berupa titik singgung antara garis lurus dan kurva parabola, yaitu di titik (0, −2) seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut ini.

2. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.

y = x2 – 1

x – y = 3

Penyelesaian:

Persamaan x – y = 3 dapat kita tulis ulang menjadi bentuk berikut.

y = x – 3

Penyelesaian:

Persamaan x – y = 3 dapat kita tulis ulang menjadi bentuk berikut.

y = x – 3

subtitusikan y = x – 3 ke dalam persamaan y = x2 – 1 sehingga kita peroleh:

⇒ x – 3 = x2 – 1

⇒ x2 – x – 1 + 3 = 0

⇒ x2 – x + 2 = 0

Persamaan kuadrat di atas sulit untuk difaktorkan. Jika kita hitung nilai diskriminannya dengan nilai a = 1, b = −1, dan c = 2, maka kita peroleh:

D = b2 – 4ac

D = (−1)2 – 4(1)(2)

D = 1 – 8

D = −7

Karena diskriminannya negatif (D < 1) maka persamaan kuadrat itu tidak memiliki penyelesaian. Oleh karena itu, SPLK di atas tidak memiliki penyelesaian sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditulis ∅. Interpretasi geometri dari SPLK ini adalah tidak adanya titik singgung maupun titik potong antara parabola dan garis lurus. Hal ini dapat kalian lihat pada gambar di bawah ini.

Penyelesaian:

Persamaan x – y = 3 dapat kita tulis ulang menjadi bentuk berikut.

y = x – 3

subtitusikan y = x – 3 ke dalam persamaan y = x2 – 1 sehingga kita peroleh:

⇒ x – 3 = x2 – 1

⇒ x2 – x – 1 + 3 = 0

⇒ x2 – x + 2 = 0

Persamaan kuadrat di atas sulit untuk difaktorkan. Jika kita hitung nilai diskriminannya dengan nilai a = 1, b = −1, dan c = 2, maka kita peroleh:

D = b2 – 4ac

D = (−1)2 – 4(1)(2)

D = 1 – 8

D = −7

Demikianlah materi tentang definisi, jenis, bentuk umum, cara menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat atau SPLK beserta contoh soal dan pembahasannya lengkap. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.

Persamaan Dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Dari sudut pandang geometri, nilai mutlak dari x ditulis | x |, adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. Karena jarak selalu positif atau nol maka nilai mutlak x juga selalu bernilai positif atau nol untuk setiap x bilangan real.

Secara formal, nilai mutlak x didefinisikan dengan

| x | = {\begin{matrix} - x j i k a x \geq 0 \\ - x j i k a x < 0 \end{matrix}

atau dapat pula ditulis
| x | = -x jika x ≥ 0
| x | = -x jika x < 0

Definisi diatas dapat kita maknai sebagai berikut :

Nilai mutlak bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri dan nilai mutlak bilangan negatif adalah lawan dari bilangan tersebut.

Sebagai contoh,
| 7 | = 7 | 0 | = 0 | -4 | = -(-4) = 4
Jadi, jelas bahwa nilai mutlak setiap bilangan real akan selalu bernilai positif atau nol.

Persamaan

\sqrt{x^{2}} = x

hanya bernilai benar jika x ≥ 0. Untuk x < 0, maka

\sqrt{x^{2}} = - x

. Dapat kita tulis

\sqrt{x^{2}} = {\begin{matrix} - x j i k a x \geq 0 \\ - x j i k a x < 0 \end{matrix}

Jika kita perhatikan, bentuk diatas sama persis dengan definisi nilai mutlak x. Oleh karenanya, pernyataan berikut benar untuk setiap x bilangan real.

| x | = \sqrt{x^{2}}

Jika kedua ruas persamaan diatas kita kuadratkan akan diperoleh

| x |^{2} = x^{2}

Persamaan terakhir ini merupakan konsep dasar penyelesaian persamaan atau pertidaksamaan nilai mutlak dengan cara menguadratkan kedua ruas. Seperti yang kita lihat, tanda mutlak bisa hilang jika dikuadratkan.

Namun, pada artikel ini kita akan lebih fokus pada bentuk linier, baik dari kasus ataupun solusi, tanpa melibatkan bentuk kuadrat.

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Diawal telah disinggung bahwa nilai mutlak x adalah jarak dari x ke nol pada garis bilangan real. Pernyataan inilah yang akan kita gunakan untuk menemukan solusi dari persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linier.

| x | = a dengan a > 0

Persamaan | x | = a artinya jarak dari x ke 0 sama dengan a. Perhatikan gambar berikut.

Jarak -a ke 0 sama dengan jarak a ke 0, yaitu a. Pertanyaannya adalah dimana x agar jaraknya ke 0 juga sama dengan a.

Posisi x ditunjukkan oleh titik merah pada gambar diatas, yaitu x = -a atau x = a. Jelas terlihat bahwa jarak dari titik tersebut ke 0 sama dengan a. Jadi, agar jarak x ke nol sama dengan a, haruslah x = -a atau x = a.

| x | < a untuk a > 0

Pertaksamaan | x | < a, artinya jarak dari x ke 0 kurang dari a. Perhatikan gambar berikut.

Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah, yaitu himpunan titik-titik diantara -a dan a yang biasa kita tulis -a < x < a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 kurang dari a. Jadi, agar jarak x ke 0 kurang dari a, haruslah -a < x < a.

| x | > a untuk a > 0

Pertaksamaan | x | > a artinya jarak dari x ke 0 lebih dari a. Perhatikan gambar berikut.

Contoh 5 (EDIT)
Tentukan penyelesaian dari |3x - 2| ≥ |2x + 7|

Jawab :
Pertaksamaan yang kedua ruasnya memuat tanda mutlak dapat diselesaikan dengan menguadratkan kedua ruas atau dengan menggunakan sifat :
|a| ≥ |b| ⇔ (a + b)(a - b) ≥ 0

Berdasarkan sifat diatas,
|3x - 2| ≥ |2x + 7|
⇔ ((3x - 2) + (2x + 7)) ((3x - 2) - (2x + 7) ≥ 0
⇔ (5x + 5) (x - 9) ≥ 0

Pembuat nol :
x = -1 atau x = 9

Dengan uji garis bilangan diperoleh
HP = {x ≤ -1 atau x ≥ 9}

Contoh 6
Tentukan HP dari 2 < |x - 1| < 4

Jawab :
Ingat : a < x < b ⇔  x > a dan x < b

Jadi, pertaksamaan 2 < |x - 1| < 4 ekuivalen dengan
|x - 1| > 2 dan |x - 1| < 4

Berdasarkan sifat c :
|x - 1| > 2 ⇔ x - 1 < -2 atau x - 1 > 2
|x - 1| > 2  ⇔ x < -1 atau x > 3 ................(1)

Berdasarkan sifat b :
|x - 1| < 4 ⇔ -4 < x - 1 < 4
|x - 1| < 4  ⇔ -3 < x < 5 ............................(2)

Irisan dari (1) dan (2) diperlihatkan oleh garis bilangan berikut

Jadi, HP = {-3 < x < -1 atau 3 < x < 5}

Home › Nilai Mutlak › Pertidaksamaan › Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel

By Zero Maker - Sabtu, Juli 22, 2017

Secara formal, nilai mutlak x didefinisikan dengan

| x | = {\begin{matrix} - x j i k a x \geq 0 \\ - x j i k a x < 0 \end{matrix}

atau dapat pula ditulis
| x | = -x jika x ≥ 0
| x | = -x jika x < 0

Definisi diatas dapat kita maknai sebagai berikut :

Nilai mutlak bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri dan nilai mutlak bilangan negatif adalah lawan dari bilangan tersebut.

Sebagai contoh,
| 7 | = 7 | 0 | = 0 | -4 | = -(-4) = 4
Jadi, jelas bahwa nilai mutlak setiap bilangan real akan selalu bernilai positif atau nol.

Persamaan

\sqrt{x^{2}} = x

hanya bernilai benar jika x ≥ 0. Untuk x < 0, maka

\sqrt{x^{2}} = - x

. Dapat kita tulis

\sqrt{x^{2}} = {\begin{matrix} - x j i k a x \geq 0 \\ - x j i k a x < 0 \end{matrix}

Jika kita perhatikan, bentuk diatas sama persis dengan definisi nilai mutlak x. Oleh karenanya, pernyataan berikut benar untuk setiap x bilangan real.

| x | = \sqrt{x^{2}}

Jika kedua ruas persamaan diatas kita kuadratkan akan diperoleh

| x |^{2} = x^{2}