PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL

Persamaan dan Pertidaksamaan Irrasional

Materi yang akan kita pelajari saat ini adalah materi kelas X pada kurikulum 2013.
Kesempatan ini akan kita bahas dan pelajari materi persamaan dan pertidaksamaan irrasional terlebi dahulu. Anda pasti tahu bahwa bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a dan b anggota bilangan bulat. Contoh bilangan irasional salah satunya adalah bentuk akar bilangan tertentu, misalnya akar 2, akar 5, akar 8. Bilangan akar 9 bukan termasuk bilangan irasional, sebab akar 9 dapat dinyatakan dalam bentuk 3/1. Bilangan 5,33333.... bukan termasuk bilangan irasional sebab 5,3333... = 16/3.

Dalam kesempatan ini akan dibahas tentang bentuk akar yang melibatkan variabel.
Perlu Anda ketahui bahwa syarat suatu bilangan mempunyai nilai real adalah bilangan itu ada nilainya dengan nyata. Dengan demikian bilangan di dalam akar harus nonnegatif.
Perhatikan contoh berikut.

Contoh 1
Tentukan nilai x agar bentuk akar di bawah ini terdefinisi.

Jawaban:

Ingat : syarat nilai di dalam akar nonnegatif (>= 0) (>= dibaca lebih dari atau sama dengan)

Soal – soal di atas dapat diselesaikan dengan langkah berikut.

1.    2x – 4 >= 0

     2x >= 4

x >= 2

     Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x >= 2.

2.    3x + 21 >= 0

     3x >= –21

     x >= –7

     Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x >= –7.

3.    X² – 3x – 10 >= 0

     (x – 5)(x + 2) >= 0

     x <= –2 atau x >= 5

     Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x <= –2 atau x >= 5.

 Selanjutnya mari membahas tentang persamaan dan pertidaksamaan irasional atau yang mengandung bentuk akar.

Perhatikan sifat-sifat dan rumus-rumus bentuk akar di bawah ini.

Lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

Contoh 2.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan di bawah ini.

Jawaban :
Untuk menyelesaikan persamaan bentuk akar di atas, perhatikan bilangan dan fungsi yang berada di dalam tanda  akar.

Soal – soal di atas dapat diselesaikan dengan langkah berikut.

1.    4x – 5 = 3

4x = 3 + 5

4x = 8

       x = 2

     Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2}.

2.    3x + 7 = 2²

3x + 7 = 4

           3x = 4 – 7

           3x = –3

             x = –1

     Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–1}.

3.   6x – 5 = 2x + 7

6x – 2x = 7 + 5

       4x = 12

         x = 3

Untuk x = 3, nilai f(3) = 6(3) – 5 = 18 – 5 = 13 (>=0)

Begitu juga nilai g(3) = 13 (>=0)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3}.


Selanjutnya perhatikan contoh lain berikut.

Contoh 3.

Jawaban:
Untuk penyelesaiannya sebagai berikut.

Untuk nilai x = -1, tidak memenuhi syarat batasan x.



 Coba perhatikan penyelesaian nomor 2.

Dengan kondisi di atas, maka kuadratkan lagi kedua ruas tersebut.  Perhatikan langkah berikutnya. Ingat,tujuan terakhir adalah menentukan nilai x.

Syarat X+3 >= 0 dan 30 - x >=0.
Atau digabungkan menjadi syarat:
-3 <= x <= 30.











Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {6}.

splk

x + 2y - 3 = 0

x = 3 - 2y

x² + y² + 2x + y - 5 = 0

(3 - 2y)² + y² + 2(3 - 2y) + y - 5 = 0

9 - 12y + 4y² + y² + 6 - 4y - 5 = 0

5y² - 15y + 10 = 0

y² - 3y + 2 = 0

(y - 1)(y - 2) = 0

y = 1 atau y = 2

y = 1

x = 3 - 2y

x = 3 - 2

x = 1

y = 2

x = 3 - 2.2

x = -1

SPLTV kontekstual

SPtKK

A) 2x^2-y^2=z^2 dan x+y=2z^2
B) x^2+3y^2=6 dan 3x-y=z
C) 2x^2-3y^2=10 dan x(2x)+2y=12
D) x+3y=12 dan x^2-6=y
E) 2x-8y=16 dan 8-x^2 = z

15)Sistem persamaan y=x^2+kx+3/4k dan y=-2x-3/2 , mempunyai dua penyelesaian , nilai k yang memenuhi adalah

16)Sistem persamaan y=4x+p dan y=x^22x+3 , mempunyai penyelesaian tunggal , nilai p adalah
A)9 B)6 C)3 D)-3 E)-6

19)Diketahui (2,1) merupakan penyelesaian dari sistem persamaan by=(a-a^2)x+a^2+3 dan 2by=ax+2 . Nilai a+b =
A)-2 b)-1 c)0 d)1 e)2

20)Salah satu penyelesaian sistem persamaan y=2x^2-x+2k dan y=x^2+3x+k adalah (k,21), dengan k>0. Penyelesaian yg lain adalah

21)salah satu penyelesaian sistem persamaan y=3x^2+(k-1)x+1 dan y=2x^2-kx-3 adalah (k-7,41), dengan k-7 < 0 . Penyelesaian yang kain dari sistem persamaan tsb adalah

24)Luas segitiga 150cm^2 . Selisih alas dan tinggi segitiga tsb 5cm. Jika alas segitiga lebih panjang daripada tingginya , sistem persamaan dari permasalahan tsb dpt ditulis menjadi
A) t2+5t+300=0
B) t2+5t-300=0
C)t2-5t-300=0
D)t2+10t+300=0
E)t2-10t-300=0

27) Pada gambar

28) Pada Gambar

SPLTV

MATEMATIKA
"SISTEM PERSAMAAN TIGA VARIABEL"

Contoh Soal:
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y - 2z = 12
x + y + 4z = 20

Pembahasan :
Langkah pertama kita tentukan variabel apa yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat peubah yang paling sederhana. Pada tiga persamaan di atas, peubah yang paling sederhana adalah peubah x sehingga kita akan eliminasi x terlebih dahulu.

Untuk menghilangkan peubah x, maka kita harus samakan bilangannya. Pada persamaan pertama dan ketiga sudah sama tapi persamaan kedua berbeda. Untuk menyamakannya, persamaan kedua dikali 1, persamaan pertama dan ketiga dikali 2.

x + 3y + 2z = 16  |x 2| ⇒ 2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y - 2z = 12 |x 1| ⇒ 2x + 4y - 2z = 12
x + y + 4z = 20    |x 2| ⇒ 2x + 2y + 8z = 40

Selanjutnya, kita eliminasi peubah x sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel dengan variabel y dan z dengan proses seperti di bawah ini.

Dari persamaan pertama dan kedua diperoleh:
2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y - 2z = 12 _
        2y + 6z = 20

Dari persamaan kedua dan ketiga diperoleh:
2x + 4y - 2z = 12
2x + 2y + 8z = 40 _
        2y - 10z = -28 

Dengan demikian kita peroleh SPLDV sebagai berikut:
2y + 6z = 20
2y - 10z = -28

Selanjutnya kita selesaikan SPLDV dengan metode eliminasi.

Eliminasi peubah y untuk memperoleh nilai z:
2y + 6z = 20
2y - 10z = -28 _
        16z = 48
            z = 3 

Eliminasi peubah z untuk memperoleh nilai y:
2y + 6z = 20    |x 5| ⇒ 10y + 30z = 100
2y - 10z = -28 |x 3| ⇒ 6y - 30z = -84

10y + 30z = 100
6y - 30z = -84 +
16y = 16
y = 1

Langkah terakhir, substitusi nilai y dan z yang diperoleh ke salah satu persamaan pada SPLTV:
⇒ x + 3y + 2z = 16
⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16
⇒ x + 3 + 6 = 16
⇒ x + 9 = 16
⇒ x = 16 - 9
⇒ x = 7 

Jadi, himpunan penyelesaian SPLTV tersebut adalah {(7, 1, 3)}

SPKK

SPLK

• 5. Logika Matematika

Pengertian SPLK

Misalkan kita memiliki nilai x = 0 dan y = 2, maka nilai-nilai tersebut memenuhi sistem persamaan berikut.

y = 2 – x

y = x2 – 3x + 2

Dikatakan demikian karena dengan mensubtitusikan x = 0 dan y = 2 ke masing-masing persamaan, diperoleh pernyataan yang benar, yaitu:

■ x = 0 dan y = 2, maka:

⇒ y = 2 – x

⇒ 2 = 2 – 0

⇒ 2 = 2 …………… (benar)

■ x = 0 dan y = 2, maka:

⇒ y = x2 – 3x + 2

⇒ 2 = (0)2 – 3(0) + 2

⇒ 2 = 0 – 0 + 2

⇒ 2 = 2 …………… (benar)

Sekarang coba kita selidiki apakah x = 2 dan y = 0 juga memenuhi sistem persamaan linear dan kuadrat y = 2 – x dan y = x2 – 3x + 2. Perhatikan perhitungan berikut ini.

■ x = 2 dan y = 0, maka:

⇒ y = 2 – x

⇒ 0 = 2 – 2

⇒ 0 = 0 …………… (benar)

■ x = 2 dan y = 0, maka:

⇒ y = x2 – 3x + 2

⇒ 0 = (2)2 – 3(2) + 2

⇒ 0 = 4 – 6 + 2

⇒ 0 = –2 + 2

⇒ 0 = 0 …………… (benar)

Dengan demikian dapat dikatakan bahwa pasangan berurutan (0, 2) dan (2, 0) merupakan penyelesaian dari sistem persamaan:

y = 2 – x

y = x2 – 3x + 2

Himpunan {(0, 2), (2, 0)} disebut himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas. Secara visual, penyelesaian dari sistem tersebut merupakan perpotongan kedua kurva persamaan itu. Perhatikan gambar grafik berikut ini.

Sistem persamaan:

y = 2 – x

y = x2 – 3x + 2

merupakan contoh sistem persamaan linear dan kuadrat. Dengan demikian, dapat kita simpulkan definisi dari sistem persamaan linier dan kuadrat (SPLK) adalah sebagai berikut.

Sistem persamaan linear dan kuadrat atau disingkat SPLK adalah sistem persamaan yang terdiri atas sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang masing-masing bervariabel dua.

Jenis SPLK dan Bentuk Umumnya

Berdasarkan karakteristik dan bagian bentuk kuadratnya, sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu sebagai berikut.

1. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit

Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk eksplisit jika persamaan itu dapat diubah menjadi bentuk y = f(x) atau x = f(y). Oleh karena itu, SPLK eksplisit ini memiliki bentuk umum sebagai berikut.

y = ax + b ……………………. (bagian linear) y = px2 + qx + r ……………. (bagian kuadrat)

2. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit

Persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk implisit jika persamaan itu mempunyai bentuk umum sebagai berikut.

ax + by + c = 0 ………………………………. (bagian linear) px2 + qy2 + rxy + sx + ty + u = 0……. (bagian kuadrat)

Cara Menentukan Penyelesaian SPLK

Secara umum, untuk menyelesaikan SPLK, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

Langkah 1: Pada bagian persamaan linear, nyatakan x dalam y atau y dalam x.

Langkah 2: Subtitusikan x atau y yang diperoleh dari langkah pertama ke bagian bentuk kuadrat sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.

Langkah 3: Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh dari langkah dua, kemudian nilai-nilai yang diperoleh disubtitusikan ke persamaan linear.

Interpretasi geometri dari penyelesaian SPLK adalah titik potong yang diperoleh dari garis lurus pada persamaan linear dengan kurva parabola pada persamaan kuadrat. Dengan demikian, banyaknya penyelesaian pada SPLK ditentukan oleh diskriminan (D) dari persamaan kuadrat yang diperoleh pada langkah kedua.

a.	Jika D > 0 maka SPLK memiliki dua penyelesian berbeda (garis lurus memotong kurva parabola di dua titik yang berlainan).
b.	Jika D = 0 maka SPLK memiliki tepat satu penyelesaian (garis lurus menyinggung kurva parabola).
c.	Jika D < 0 maka SPLK tidak memiliki penyelesaian (garis lurus tidak memotong ataupun menyinggung kurva parabola).

Hal ini dapat kalian lihat pada gambar di bawah ini.

Dari gambar di atas, tampak bahwa jika D adalah diskriminan persamaan kuadrat y = px2 + qx + r dan y = ax + b, berlaku sebagai berikut.

1) Kedua grafik berpotongan di titik A dan B (SPLK mempunyai 2 penyelesaian), berarti D > 0.

2) Kedua grafik bersinggungan di titik C (SPLK mempunyai 1 penyelesaian), berarti D = 0.

3) Kedua grafik tidak berpotongan (SPLK tidak mempunyai penyelesaian sama sekali), berati D < 0.

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.

x + y + 2 = 0

y = x2 – x – 2

Penyelesaian:

Persamaan x + y + 2 = 0 dapat kita tuliskan sebagai berikut.

y = −x – 2

Subtitusikan nilai y = −x – 2  ke persamaan y = x2 – x – 2 sehingga diperoleh:

⇒ −x – 2 = x2 – x – 2

⇒ x2 – x + x – 2 + 2 = 0

⇒ x2 = 0

⇒ x = 0

Subtitusikan nilai x = 0 ke persamaan y = −x – 2 sehingga diperoleh:

⇒ y = −(0) – 2

⇒ y = –2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, −2)}. Tafsiran geometrinya berupa titik singgung antara garis lurus dan kurva parabola, yaitu di titik (0, −2) seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut ini.

2. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.

y = x2 – 1

x – y = 3

Penyelesaian:

Persamaan x – y = 3 dapat kita tulis ulang menjadi bentuk berikut.

y = x – 3

Penyelesaian:

Persamaan x – y = 3 dapat kita tulis ulang menjadi bentuk berikut.

y = x – 3

subtitusikan y = x – 3 ke dalam persamaan y = x2 – 1 sehingga kita peroleh:

⇒ x – 3 = x2 – 1

⇒ x – 3 = x2 – 1

⇒ x2 – x – 1 + 3 = 0

⇒ x2 – x + 2 = 0

Persamaan kuadrat di atas sulit untuk difaktorkan. Jika kita hitung nilai diskriminannya dengan nilai a = 1, b = −1, dan c = 2, maka kita peroleh:

D = b2 – 4ac

D = (−1)2 – 4(1)(2)

D = 1 – 8

D = −7

Karena diskriminannya negatif (D < 1) maka persamaan kuadrat itu tidak memiliki penyelesaian. Oleh karena itu, SPLK di atas tidak memiliki penyelesaian sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditulis ∅. Interpretasi geometri dari SPLK ini adalah tidak adanya titik singgung maupun titik potong antara parabola dan garis lurus. Hal ini dapat kalian lihat pada gambar di bawah ini.

Penyelesaian:

Persamaan x – y = 3 dapat kita tulis ulang menjadi bentuk berikut.

y = x – 3

subtitusikan y = x – 3 ke dalam persamaan y = x2 – 1 sehingga kita peroleh:

⇒ x – 3 = x2 – 1

⇒ x – 3 = x2 – 1

⇒ x2 – x – 1 + 3 = 0

⇒ x2 – x + 2 = 0

Persamaan kuadrat di atas sulit untuk difaktorkan. Jika kita hitung nilai diskriminannya dengan nilai a = 1, b = −1, dan c = 2, maka kita peroleh:

D = b2 – 4ac

D = (−1)2 – 4(1)(2)

D = 1 – 8

D = −7

Karena diskriminannya negatif (D < 1) maka persamaan kuadrat itu tidak memiliki penyelesaian. Oleh karena itu, SPLK di atas tidak memiliki penyelesaian sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditulis ∅. Interpretasi geometri dari SPLK ini adalah tidak adanya titik singgung maupun titik potong antara parabola dan garis lurus. Hal ini dapat kalian lihat pada gambar di bawah ini.

Demikianlah materi tentang definisi, jenis, bentuk umum, cara menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat atau SPLK beserta contoh soal dan pembahasannya lengkap. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.